metodo

1

SISTEMAS
DE ECUACIONES.
MÉTODO DE GAUSS

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Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con dos incógnitas
1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”? ¿No
es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?
 2x + y = 5

 4x + 2y = 10
■

Represéntalas
gráficamente
y
observa que se trata de la misma
recta.
Se trata de la misma recta.
1
1
4x + 2y = 10
2x +y = 5

■

Pon otro sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas en el que la
segunda ecuación sea, en esencia,
igual que la primera. Interprétalo
gráficamente.
x + y = 1

3x + 3y = 3 
Gráficamente son la misma recta.

1
1

x+y=1
3x + 3y = 3

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

1

2. Observa las ecuaciones siguientes:
 2x + y = 5

 x– y=1
 x + 2y = 4

■

Represéntalas yobserva que las dos
primeras rectas determinan un punto (con esos dos datos se responde a
las dos preguntas: x = 2, y = 1) y que
la tercera recta también pasa por ese
punto.

x–y=1

x + 2y = 4

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5

■

Da otra ecuación que también sea
“consecuencia” de las dos primeras
(por ejemplo: 2 · 1-ª + 3 · 2-ª),
represéntala y observa que también
pasa por x = 2, y = 1.

x–y=1

x + 2y =4

2 · 1-ª + 3 · 2-ª → 7x – y = 13

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5
7x – y = 13

3. Observa que lo que dice la segunda ecuación es contradictorio con lo que dice
la primera:
 2x + y = 5

 2x + y = 7
■

Represéntalas y observa que se trata
de dos rectas paralelas, es decir, no
tienen solución común, pues las
rectas no se cortan en ningún
punto.

1
1

2
2x + y = 7

2x + y = 5

Unidad 1. Sistemas deecuaciones. Método de Gauss

2

■

Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que
inventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.
Observa que lo que dicen ambas
ecuaciones es ahora contradictorio y
que se representan mediante rectas
paralelas.
x+ y=
3x + 3y =

1

0

Rectas paralelas:
1
1
x+y=1

3x + 3y = 0

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1. Sin resolverlos, ¿sonequivalentes estos sistemas?
 x+y=5
a) 
 2x – y = 7
 x+y= 5

= 12
 3x

x+y–z=5
b) 
=7
x+y

 x+ y–z= 5

c)  x + y
= 7
 2x + 2y – z = 12



z=2

x
+
y
=7



z=2

x
+
y
=7


 x + y – z = 11
d) 
 x + 2y – z = 7
 x + y – z = 11

y
= –4


a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos.
b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultadode restarle a la segunda
ecuación la primera.
c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El
resto es igual que en b).
d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.

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1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
 2x + y = 1

a)  3x + 2y = 4
 x+ y=3


x+ y+z=6

b) y–z=1
 x + 2y
=7


Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

x+y+z=6

c)  x + y + z = 0
x
–z=0


x+y+z=6

d) 
y–z=1

z=1


3

a) 2x + y = 1  → y = 1 – 2x 


3x + 2y = 4 


x + y = 3  → y = 3 – x 

1 – 2x = 3 – x → x = –2,

y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2-ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en elpunto (–2, 5).
b) x + y + z = 6
y–z=1
x + 2y
=7


 La 3-ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras;

 podemos prescindir de ella.


x + y = 6 – z  x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z

y=1+z y=1+z
Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.
c) x + y + z = 6 

x+ y+z=0 
x
– z = 0 

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.
El sistema esincompatible.
Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

d) x + y + z = 6 

y–z=1 
z = 1 

z=1
y=1+z=2
x=6–y–z=6–2–1=3

Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
 x + 2y = 3
2. a) Resuelve el sistema: 
x– y=4
b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.
c) Añade una tercera ecuación de modo que sea...