Metododeeuler

Método de Euler
El metodo de Euler se utiliza para obtener una solución a un problema de valor inicial. Donde
y' = F (x, y) , con
0 0
y(x ) = y además
0
x es el valor inicial x = x + h
1 0
, x = x + h
2 1
, … , donde
h es el tamaño del brinco (“step size”) Asi que el metodo es:
( , )
1 0 0 0
y = y + hF x y
( , )
2 1 1 1
y = y + hF x y
En General
( , )
- 1 - 1 - 1 = +n n n n
y y hF x y
Ejemplo: Use el Método de Euler con “step size” 0.1 construya una tabla con los valores aproximados de
las soluciones al problema de valor inicial.
y' = x + y y(0) = 1
Solución:
Tenemos que h = 0.1 0 x
0 = 1 y
0 = & F (x, y) = x + y Luego
( , ) 1 0.1(0 1) 1.1 y
1 = y
0
+ hF x
0
y
0 = + + =
( , ) 1.1 0.1(0.1 1.1) 1.22 y
2 = y
1
+ hF x
1
y
1 =+ + =
( , ) 1.22 0.1(0.2 1.22) 1.362 y
3 = y
2
+ hF x
2
y
2 = + + =
Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) »1.362
Encuentre los valores hasta llegar a 1.
Ejercicio: Use el método de Euler con “step size” 0.2 para estimar y(1) , Ejercicio: Use el método de Euler con “step size” 0.2 para estimar y(1) , donde y(x) es la solución a
problema de valor inicial' y = 1 - xy y(0) = 0
1.1 Metodo De Euler
El Procedimiento Para Resolver Un Sistema De Ecuaciones Consiste En Unicamente Aplicar La tecnica Simple Por Ecuacion De Cada Paso,
Antes De Proceder Con El Siguiente Ejemplo Resolver El Siguiente Sistema De Ecuaciones Diferenciales Utilizando El Metodo De Euler, Suponiendo Que En X=0, Y1=4, Y2=6. Integrar Hasta X=2 Con Un Tamaño De Paso De 0.5Aplicando el Metodo De Euler

Integrando dy1/dx: y1= −0.5y1*x+c y1= −0.5*y1*x+C.I. y1= −0.5*y1*x+4
Integrando dy2/dx: y2=4x-0.3y2x-0.1y1x+c y2=4x-0.3y2x-0.1y1x+6

y1= 3
y1(0.5)=4+(0.5*4)*0.5 y2= 6.9
y2(0.5)=6+(4-(0.3*6)-(0.1*4))*0.5

Formula De Euler

x y1 y2
0 4 6 Paso=0.5
0.5 3 6.9
1 2.257.715
1.5 1.6875 8.44525
2 1.265625 9.0940875

7.1.2 Metodos De RUNGE KUTTA

Los Metodos De Runge Kutta Logran La Exactitud De Las Series De Taylor
Sin Necesitar El Calculo De Derivadad De Orden Superior.
Es Posible Tener Varios Metodos De Ringe Kutta Empleando Deferente Numero
De Terminos En La Funcion IncrementoEspecificada Por n

El Metodo De Runge Kutta De Primer Orden Es De Hecho El Metodo De Euler.

Existen Muchas Variantes, Pero Todas Tienen La Forma Generalizada De La
Ecuacion:

Donde Se Reconoce Como Funcion Incremento, La Cual Puede Interpretarse Como
Una Pendiente Representativa En El Intervalo. La Funcion Incremento Se Escribe En FormaGeneral Como:

Donde Las a son Constantes Y Las k Se Definen Por:

Donde Las p y Las q Son Constantes. Observe Que Las k Son relaciones De recurrencia. Es Decir, k1 Aparece
En La Ecuacion k2, La Cual Aparece En La Ecuacion k3.

Las Variantes Mas Comunes Al Metodo De RUNGE KUTTA Son HEUN, PUNTO MEDIO Y
Ralston

Ejercicio
Utilizar Los Metodos Del Punto Medio,y De Ralston Para Integrar Numericamente
La Ecuacion

Desde x=0 Hasta x=4, Usando Un Tamaño De Paso De 0.5. La ecuacion Inicial Es De x=0 y=1
Comprobar Los Valores Obtenidos Usando HEUN De 2do Orden Sin Iteracion Del Corrector

El Primer Paso En El Metodo De Punto Medio Consiste En Usar La Ecuacion

k1=−2(0)^3+12(0)^2–20(0)+8.5 k1=8.5

En Seguida Calculamos k2xi+1/2h=0+(1/2)(0.5) yi+(1/2)(8.5)(0.5)
0.25 3.125

k2=−2*(0.25)^3+12*(0.25)^2–20(0.25)+8.5 k2= 4.21875

La Pendiente En El Punto Medio Entonces se Sustituye En La Ecuacion Siguiente

yi+1=1+4.21875*0.5 yi+1= 3.1094

x y Real y Punto Medio k1 k2
0 1 1 8.5 4.21875
0.5 3.21875 3.1094 1.25 −0.59375
1 3 2.8125 −1.5 −1.65625
1.5 2.21875 1.984375 −1.25 −0.46875
2 2 1.75 0.5...