metodologia

escribir la igualdad
y=j(x),
dy = J' (x)
dx '
que se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j prima
de x" El símbolo
d
dx'
considerado por sí mismo, se llama operador derivada; indica que
toda función que se escriba después de él ha de derivarse con respecto
a x. Así,
dy d
- (1 - y indica la derivada de y con respecto a x;
dx dx
ix f (x) indica la derivada de j (x) conrespecto a x;
d~ (2 x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x.
El símbolo y es una forma abreviada de ~~ .
d
El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx Lllego,
si
y=j(x),
podem-os escribir las identidades
dy d d
y' = - = -y =- j(x) = Dxj(x) = j'(X).
dx dx dx
Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que
t1x~O, la variable es t1x y no x. Elvalor de x se supone fijo desde
el principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta el
fin, podemos escribir:
J' (xo) = Hm j(xo + t1x) - j(Xo)
6x~O t1x
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30 CALCULO DIFERENCIAL
26. Funciones derivables. De la teoría de los límites se deduce
que si existe la derivada de una función para cierto valor de la variable
independiente, la función mismadebe ser continua para aquel valor de
la variable.
Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto
funciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada.
Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemáticas aplicadas,
yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir,
las funciones que tienen derivada para todos los valores de lavariable
independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados.
27. Regla general para la derivación.
derivada se puede ver que el procedimiento
y = f (x) comprende los siguientes pasos:
Según la definición de
para derivar una función
REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIóN
PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x + !::..x, y se
calcula el nuevo valor de la función y + /1y .SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la función del nuevo valor
y se obtiene /1y ( incremento de la función ) .
TEIWEH PASO. Se divide /1y ( incremento de la función ) por /1x
(1:ncremento de la variable independiente) .
CUARTO PASO. Be calcula el límite de este cociente cuando llx
( incremento de la variable independiente) t'iende a cero. El límite así
hn'uado es la den:vada buscada .
Elestudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento
a muchos ejemplos . La resolución detallada de tres de
estos ejemplos se da a continuación. Nótese que los teoremas del
Artículo 16 se emplean en el cuarto paso, manteniéndose x constante .
EJEMPLO 1. Hal lar la derivada de la f unción 3 X2 + 5.
Resolución. Aplicando los pasos s ucesi vos de la regla ge neral,obtenemos,
después de h acer
y = 3 X2 + 5,
Pri mer paso. y + Ay = 3 (x + 1'1 x ) 2 + 5
= 3 X2 + 6 x· 1'1 x + 3 (1'1 x ) 2 + 5,
Segundo paso. y + l'1y = 3 x2+6 x.l'1x+ 3 (l'1x) 2 + 5
y - 3 X2 + 5
1'1 y = 6x'l'1x+3(óX)2
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Tercer paso.
Cuarto paso.
o bien,
EJEMPLO 2.
DERIVACION
11/j = 6 x + 3.l1x .
I1x
31
En el segundo m iembro haga m os I1x----;'O. Según CA) resulta :
d/j = 6 x .
dx
/j' = ~ (3 X2 + 5)'-~ 6 x.
dx
Hallar la der ivada de x 3 - 2 x + 7 .
Resol ución. Hagamos /j = x 3 - 2 x + 7.
Primer paso.
Segundo paso.
Tercer paso.
Cuarto paso.
o bi e n ,
EJEMPLO 3.
Resol ución.
Primer paso .
Segundo paso .
Tercer paso.
Cuarto paso.
/j + 11/j = (x + I1x) 3 - 2 (x + I1x) + 7
= x 3+3 X2 'l1x+3 x. ( l1x ) 2 + (l1x) 3- 2 x-2 .l1x+ 7.
/j +11/j = x 3+3 X2 .l1x+ 3 x. (l1x) 2+ (l1x) 3-2 x - 2.l1x+7
/j = x 3 - 2 x +7
11/j =
11/j =3 x 2+3 x.l1x+(l1x)2-2.
I1x
- 2·l1x
En el se gundo miem bro hagam os I1x----;'O. Según (A) ten dremos:
'.!J¿=3x2 - 2.
dx
y' = ~ ( x 3 - 2 x + 7) = 3 X2 - 2 .
dx
Hal lar la deri vada de la función c ?
Hagamos y = -~ .
X2
/j + l1y = C
(x + l1x)2
y + 11/j = c
(x + I1x) 2
y
11 _ c
y - -:-(...