Metodologias de optimizacion

TALLER 4
METODOLOGIAS DE OPTIMIZACIÓN

Quimbayo D, Julian, Roa, José Alfredo, y Suarez, William A.
{jaquimbayod, jaroaq, wasuarezo}@unal.edu.co
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería.

Resumen—En este documento se abordan dos problemas de optimización matemática, el primero valiéndonos del teorema de Lagrange para optimizar un problema de diseño, y en el segundo problemase presenta el algoritmo simplex, que es una técnica de programación lineal para optimizar.

Índice de Términos— Algoritmo, esfuerzo, método, Optimización,

INTRODUCCION
En este documento se proponen soluciones a dos problemas de optimización matemática con los cuales es posible profundizar de una buena manera a este tema de optimización que tanto puede ayudar a un ingeniero en su vidaprofesional, estas soluciones se plantean junto con una breve explicación de los pasos a seguir en cada una de las soluciones como prueba del total entendimiento de los conceptos aquí mencionados, para este fin nos valemos de Matlab® en el primero de los problemas y para el segundo que es un simple problema de programación lineal solo necesitamos de algo de algebra matricial.
Aplicación de diseñoLo primero que se debe hacer en este tipo de problemas es identificar las variables involucradas en el problema, para este fin vamos a proceder haciendo un listado en el cual se consignarán todas estas variables antes mencionadas.

Signo Nombre Tipo de variable
σ_xz Esfuerzo Dependiente
P_max Presión Máxima Dependiente
ν Relación de Poisson Independiente
α Constante Dependiente
a Radiode la zona de contacto Independiente
z Distancia en el eje z Independiente
P Carga Independiente

Como resultado de este estudio de las variables en cuestión, obtenemos que tres de ellas son dependientes, es decir toman sus valores mediante la combinación de algunas de las otras variables, a continuación citaremos las ecuaciones que describen el comportamiento de estas variables:

σ_xz=Pmax/2((1-2ν)/2+((1+ν)α)/√(1+α^2 )-3/2 α^3/∛(1+α^2 )) (1)

P_max=3P/(2πa^2 ) (2)

α=z/a (3)

Lo anterior para el caso de las variables dependientes, tan simple como que dependen de las ecuaciones antes mencionadas, ahora pues para el caso de las variables independientes existen varias situaciones que es justo precisar, para el caso de la relación de Poisson que es tomada como independientedebemos tener en cuenta que este valor es preestablecido en el problema, es decir debe tomarse más bien como una constante. Para la carga P es sabido que es un requerimiento del problema a desarrollar, la carga normalmente se estable para la aplicación así que este parámetro es simplemente ingresado por el usuario, ahora pues solo nos quedan dos variables, a y z, para nuestro caso estas dos sonrealmente las interesantes en el problema pues estas son las que deben variar para maximizar o minimizar la función objetivo, pues como es obvio por las condiciones del problema estas dependerán de la geometría a utilizar porque por ejemplo a hace referencia al radio de contacto entre las dos superficies, entonces a no podrá tomar valores superiores al radio de las esferas, es decir con esto le estamoshallando coherencia física al problema.

Así pues para concluir esta parte, a y z se convertirán en las restricciones del problema, y estas restricciones dependerán de las condiciones geométricas que incluya en usuario, es decir las restricciones son ingresadas por el usuario de la aplicación.

Para este problema como muchos otros en ingeniería es preciso minimizar los esfuerzos en la pieza,pues de estos esfuerzos depende entre otros la vida útil de la pieza, el material con el que se debe construir, las condiciones de trabajo de la pieza, entre otros. Entonces después de estas consideraciones encontramos que la ecuación objetivo, en este caso para minimizar es:

σ_xz=Pmax/2 ((1-2ν)/2+((1+ν)α)/√(1+α^2 )-3/2 α^3/∛(1+α^2 ))
Ahora pues como ejercicio práctico, pasaremos a dar...