Metodos Algebraicos

UNTECS

MATRICES Y ÁLGEBRA DE MATRICES

El uso de las matrices muy extendido en el contexto del Álgebra lineal tuvo a Cayley (1821-1895) a uno de sus impulsores, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz. Las matrices nos puede servir para representar un sistema de ecuaciones, una base de un espacio vectorial, un producto escalar, formas cuadráticas, un proceso de Markov,etc. En el ámbito de la Ciencia también tiene una importancia reconocida, ya que permite agrupar y manejar la información con mucha más facilidad. Por lo tanto es fundamental conocer el cálculo matricial y sus propiedades más importantes, no sólo para poder desenvolvernos bien en el mundo del Álgebra, sino también en el ámbito de la Ciencia más inmediata. Nuestro objetivo en este tema es conocer laaritmética matricial, sus propiedades, algunos tipos de matrices más usuales, el cálculo de la inversa de una matriz, cuando exista y las ecuaciones matriciales.

Algebra Lineal

0

Lic. Jesús Flores Cruz

UNTECS

1)

MATRICES Y OPERACIONES

Es bastante usual encontrar la información ordenada en forma de tabla rectangular, no hay mas que pensar en conforme se disponen en unaeropuerto las llegadas y salidas de los distintos vuelos. Otro ejemplo bastante claro se tiene con las hojas de cálculo. La información o los datos se escriben en distintas celdas cuyas posiciones están definidas por la fila y la columna que ocupan. Pues bien, una matriz es un conjunto de números dispuestos de forma ordenada, formando filas y columnas. Como veis esta idea tan sencilla que nació en sigloXIX se ha mostrado muy útil. Muchos de las informaciones que nos suministran tiene este formato, es decir, formato de matriz. Por ejemplo, en una fábrica de productos A, B, C se puede representar las unidades de mano de obra y material involucrados en una semana de producción de estos artículos como se muestra en la tabla: Productos mano de obra material A 10 5 B 12 9
10 12 16 5 9 7  

C16 7

De manera más sencilla pueden ser representados por la matriz:

que tiene dos filas correspondientes a los renglones y tres columnas. DEFINICIÓN 1.1 Llamaremos matriz de orden mxn a todo arreglo rectangular de números que consiste en m filas y n columnas.
 a1n   a11 a12   a2 n   a21 a22  A     aij       amn   am1 am 2

A cada número de la matriz se le denominaelemento o coeficiente. Para el elemento o coeficiente aij i es el subíndice de la fila y j subíndice de la columna. Por brevedad, una matriz de m x n puede ser denotada por el símbolo

a 

ij mxn

o de manera más sencilla  aij  .

Algebra Lineal

1

Lic. Jesús Flores Cruz

UNTECS

Designaremos por M mn ( K )  K el conjunto de todas las matrices de orden mxn con coeficientes enel cuerpo K. Cuando se considere el conjunto de los números reales diremos que es una matriz con elementos reales. Observación: 1) Los aij son llamados componentes o elementos de la Matriz. 2) El elemento aij está ubicado en la i-ésima fila y j-ésima columna. 3) Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas a, b, ... 4)Abreviadamente, A  aij

mn

 

mn

5) El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por:

M mn ( K )  K mn
EJEMPLO 1.1 Dada la matriz
0  1 5 6  3 2  7  1 2 0  4  0

se tiene que es de orden 4x3 y los elementos de la diagonal principal son 0, 6 y 4. DEFINICIÓN 1.2 Dos matrices son iguales cuando son del mismo orden y los elementosde igual posición coinciden. Una lectura tranquila de la definición nos permite reflexionar sobre la primera condición. Verificar el orden de una matriz es el primer paso para determinar si dos matrices son iguales. Está claro que las siguientes dos matrices
1  1 1  1   3 2  , 3 2    0 0   

no son iguales, pues la primera es de orden 2x2 y la segunda es de orden 3x2. El...