Metodos cuantitativos aplicados a los negocios parte i

Metodos Cuantitativos Aplicados a los Negocios parte I
Regresiones lineales
La primer forma de regresiones lineales documentada fue el métodode los mínimos cuadrados, el cual fue publicado por Legendre en 1805,1 y por Gauss en 1809.2 El término "mínimos cuadrados" proviene de la descripción dada por Legendre "moindres carrés". Sin embargo Gauss aseguró que conocía dicho método desde 1795.Tanto Legendre como Gauss aplicaron el método para determinar, a partir de observaciones astronómicas, las órbitas de cuerpos alrededor del sol. En 1821, Gauss publicó un trabajo en dónde desarrollaba de manera más profunda el método de los mínimos cuadrados,3 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Markov.
Etimología
El término regresiónse utilizó por primera vez en el estudio devariablesantropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valormedio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.4 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tardecon la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.
El modelo de regresiónlineal
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas Xk (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros ßk desconocidos:
(2)
donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo sucarácter estocástico. En el caso más sencillo de dos variables explicativas, el hiperplano es una recta:
(3)
El problema de la regresión consiste en elegir unos valoresdeterminados para los parámetros desconocidos ßk, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra elcomportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).
(4)
Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5)
Los valores son por su parteestimaciones de la perturbación aleatoria o errores.
.Supuestos del modelo de regresión lineal
Para podercrear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:5
• La relación entre las variables es lineal.
• Los errores son independientes.
• Los errores tienen varianza constante.
• Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero.
• El error total esla suma de todos los errores.
Tipos de modelos de regresión lineal
Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:
Regresión lineal simple
Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:6
(6)

Donde es el error asociado a la medición del valor Xiy siguen los supuestos de modo
Quemedia cero, varianza constante e igual a un s y con

Análisis
Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:7
(7)

(8)

Calculando y Para esto se buscan dichos parámetros que minimicen

Derivando respecto a ß0 y ß1 e igualando a cero, se obtiene:7
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(10)
Obteniendo dos ecuaciones denominadas...