Metodos De Analisis Numerico

ANALISIS
NUMERICO

PROYECTO FINAL





1-Contenido.
La difusión en estado sólido significa el transporte de materia dentro del material solido dentro del movimiento atómico por etapas. El termino auto difusión se refiere al movimiento de los átomos del disolvente; para designar la difusión de los átomos de soluto se utiliza la palabra interdifusion. Existen 2 mecanismos dedifusión: por vacantes e intersticial. La difusión intersticial suele ser más rápida.
En el estado estacionario el perfil de las sustancias que difunden es independiente del tiempo, y el flujo o velocidad es proporcional al valor negativo del gradiente de concentración de acuerdo con la primera ley de Fick. La segunda ley de fick, una ecuación con derivadas parciales, es la expresión matemática delestado no estacionario. La solución para la condición límite de composición superficial constante implica la función de error gaussiano.
La magnitud del coeficiente de difusión indica la velocidad del movimiento atómico y se incrementa exponencialmente al aumentar la temperatura.
Aplicaciones o usos.
Uno de sus usos o aplicaciones es en el endurecimiento del acero por gas de carburación. Enla primera parte del proceso los componentes se sitúan en un horno en contacto con gases que contienen metano, el carbono de la atmosfera difunde por dentro de la superficie del material y después se hace un tratamiento térmico; su uso es en engranes y ejes.

2-Modelo matemático.
INTERPOLACION Y AJUSTE
(3 PTS: INTERPOLACION CUADRATICA O DE SEGUNDO GRADO)
Y1 = Ax12 + Bx1 + C
Y2 = Ax22 +Bx2 + C
Y3 = Ax32 + Bx3 + C
3-Justificación.
En los problemas de difusión para la segunda ley de fick, se tiene una función llamada error también denominada erf, para sacar la función erf necesitamos interpolar los datos de la tabla de la función error mostrada en el ejercicio con el resultado que nos da la ecuación del carbono.
4-Ejercicio. Difusión “SEGUNDA LEY DE FICK”
Se va a carburizarun engrane fabricado con .25% de carbono y se pretende endurecer la superficie A en .8 % de carbono en una distancia de .5 mm a una temperatura de 950 *C, la constante de difusión de C en Fe es 1.6 X 10 -11 m2/s y la concentración de carbono en el horno es de 1.2% ¿CUANTO TIEMPO VA A ESTAR LISTO?
DATOS
T= 950 C
D= 1.6 X 10 -11 m/s
Cs= 1.2
Cx=.8
Co= .25
X o d= 5 X 10 -4 m
T = ?SEGUNDA LEY DE FICK
Cs-CxCs-Co=erfx2√dt

PROCEDIMIENTO
1.2- .81.2-.25=erf⁡5 X 10-4m(2√1.6 X 10-11m2/s)(t)
erf⁡5 X 10-4m(2)1.6X10-11m/s2(t)= .4211
Tabulación de valores de la función error |
z | Erf (z) | z | Erf (z) | Z | Erf (z) |
0 | 0 | 0.55 | 0.5633 | 1.3 | 0.9340 |
0.025 | 0.0282 | 0.60 | 0.6039 | 1.4 | 0.9523 |
0.05 | 0.0564 | 0.65 | 0.6420 | 1.5 | 0.9661 |
0.10 | 0.1125 |0.70 | 0.6778 | 1.6 | 0.9763 |
0.15 | 0.1680 | 0.75 | 0.7112 | 1.7 | 0.9838 |
0.20 | 0.2227 | 0.80 | 0.7421 | 1.8 | 0.9891 |
0.25 | 0.2763 | 0.86 | 0.7707 | 1.9 | 0.9928 |
0.30 | 0.3286 | 0.90 | 0.7970 | 2.0 | 0.9953 |
0.35 | 0.3794 | 0.95 | 0.8209 | 2.2 | 0.9981 |
0.40 | 0.4284 | 1.0 | 0.8427 | 2.4 | 0.9993 |
0.45 | 0.4755 | 1.1 | 0.8802 | 2.6 | 0.9998 |
0.50 | 0.5205 | 1.2 |0.9103 | 2.8 | 0.9999 |

.35 = .37942 A + .3794 B + C
.40 = .42842 A + .4284 B + C
.45 = .47552 A + .4755 B + C

A = .42833
B = .67450
C = .03248

Y= Ax2 + Bx + C
Y = (.42833) (.4211)2 + (.67450) (.4211) + .03248
Y = .39247

Ya sacando el valor de error se sustituye en la ecuación por erf y el resultado de la ecuación del carbono quedando de esta manera:
⁡5 X10-4m(2)1.6X10-11m/s2(t)= .39245
ya teniendo la ecuación, procedemos a sustituir t
1(2)1.6X10-11m/s2(t)= .392455 X 10-4m
1(2)1.6X10-11m/s2 t= .392455 X 10-4m
1 t= .39245((2)1.6X10-11m/s2)5 X 10-4m
1 t= .39245((2)1.6X10-11m/s2)5 X 10-4m 2
1 t= .15402((4)1.6X10-11m/s2)(5 X 10-4m)2
1 t= .000039429-1
t= 25361.96598 s 3600
t=7.04512 hs
1-Contenido
DISTRIBUCION EXPONENCIAL GAMMA
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