Metodos de demostracion maematica

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U.E.P.C.O.P. ‘’Andrés Eloy Blanco’’
5to ‘’B’’
Matemática
Estudiante: Rossana Orta

El método de demostración indirecta
En el método de demostración indirecta, debes empezar preguntándote: “¿Cómo, o cuándo, debo concluir que la proposición B es verdadera?” Esta pregunta debes hacerla de forma general. En el ejemploanterior, pongamos por caso, la pregunta (general) es: “¿Cómo puedo probar que un triángulo es isósceles?”
Esta pregunta, obtenida de la proposición B, la llamaremos en lo que sigue la pregunta clave. Una pregunta clave bien planteada no debería contener ni símbolos ni otras notaciones (salvo números) del problema que se está considerando. La llave para muchas demostraciones es formularcorrectamente la tal pregunta clave.
Una vez que has planteado la pregunta clave, tu paso siguiente en este método será responderla. Volviendo al ejemplo anterior, ¿cómo puedo probar que un triángulo es isósceles? Obviamente, una forma es probando que dos de sus lados tienen la misma longitud. Considerando nuestra figura, deberías probar que x  y. Observa que en la respuesta a la pregunta clave hay dosfases: en primer lugar, das una respuesta general que no contiene símbolos del problema planteado: demostrar que un triángulo es isósceles, es demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud. Luego, aplicas esta respuesta a la situación en cuestión: demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud, significa demostrar que x  y (no que x  z o y  z).
Con el método de demostraciónindirecta, has construido una nueva proposición, B1, que tiene la propiedad de que si puedes demostrar que B1, es verdadera, entonces B lo será. En nuestro ejemplo, la nueva proposición es B1: x  y.
Si puedes probar que x  y, entonces el triángulo XYZ es isósceles. Una vez que has planteado la proposición B1, todos tus esfuerzos deberían dirigirse a intentar llegar a la conclusión de que B1 esverdadera, pues entonces seguiría que B es verdadera. ¿Cómo puedes demostrar que B1 es verdadera? ¿Cómo puedes plantear una nueva pregunta clave para B1?
Puesto que x e y son longitudes de dos lados de un triángulo, una pregunta clave razonable podría ser “¿cómo puedo probar que las longitudes de dos lados de un triángulo son iguales?”. Otra, igualmente razonable, sería “¿cómo puedo probar que dosnúmeros reales son iguales?” Al fin y al cabo, x e y son números reales.
Una de las dificultades que pueden surgir en el método de demostración indirecta es la posibilidad de más de una pregunta clave en algún paso. Elegir la correcta tiene más de arte que de ciencia. En algunos casos, habrá solamente una pregunta clave obvia; en otros casos, deberás proceder por ensayo y error. Aquí es donde tuintuición, esfuerzo, creatividad, tus diagramas, etc., pueden jugar un papel importante. Una norma general, es dejar que la información que encierra A (que estás suponiendo cierta) te ayude a elegir la tal pregunta. Al margen de la pregunta clave que finalmente plantees, el siguiente paso será responderla, primero en general y luego aplicada a la situación en cuestión. ¿Puedes hacer esto para las dospreguntas clave que supuestamente has planteado para B1? Para la primera, podrías demostrar que dos lados de un triángulo tienen igual longitud, probando que los ángulos opuestos son iguales. En nuestro triángulo significaría probar que los ángulos X e Y son iguales. Un rápido examen de la proposición A nos hace ver que no aporta mucha información sobre los ángulos del triángulo XYZ. Así pues, debemoselegir la otra pregunta clave.
Ahora estás ya frente a la pregunta “¿Cómo puedo probar que dos números reales (a saber, x e y) son iguales? Una respuesta es probar que su diferencia es cero. Desafortunadamente hay otra respuesta perfectamente razonable: demostrar que el primer número es menor o igual que el segundo y que el segundo es menor o igual que el primero. Así pues, surge una segunda...