Metodos de demostracion

1.4 REGLAS DE PRUEBA. (MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN). 
Teóricamente, todos los teoremas de la lógica proposicional se pueden demostrar utilizando solamente los axiomas y las reglas de validez; sin embargo, se establecen reglas de prueba y métodos de demostración con el fin de abreviar el proceso deductivo. 
A continuación se presentan los principales métodos de demostración y reglas de prueba delcálculo proposicional.

1.4.1 Método directo o de Hipótesis auxiliar. Este método se utiliza para la demostración de implicaciones, y dice así: Sean R y S fórmulas. Si el suponer que R es verdadera, se puede hacer una demostración de que S es verdadera, entonces la implicación R€⇒ S es una fórmula verdadera. 

Justificación: La tabla de verdad del condicional muestra que con antecedenteverdadero, hay implicación, sólo en el caso en el que el consecuente es verdadero.
Esquema Operativo General: Para demostrar que una fórmula del tipo
R€⇒S es teorema, se procederá así:
• Se supone que el antecedente R es verdadero. A R se le llama hipótesis auxiliar.
• A partir de la hipótesis, se construye un argumento lógico en el cual se pueden utilizar los axiomas y los teoremas yaprobados, mediante la aplicación de las reglas de validez, para llegar a la fórmula S como conclusión o tesis.
• En este punto concluye la prueba y queda establecida la verdad de R€⇒S.

Ejemplos

1. Demuestre que: si a y b son números pares, entonces a + b es número par. 
Solución: 

Suponga que a y b son números pares, (Hipótesis auxiliar) luego, a = 2n y b = 2m con n, m ∈ Ζ .Entonces, a + b = 2n+ 2m =2(n + m); (n + m)∈Ζ (enteros). Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k, es decir, a + b es un número par.

2. Dadas P, Q y R fórmulas, pruebe que: 
(P ⇒Q) ⇒€((Q ⇒€R) ⇒€(P ⇒€R)) es un teorema.

Solución:

1. P ⇒€Q (hipótesis auxiliar)
2. Q ⇒€R (hipótesis auxiliar)
3. P (Hipótesis auxiliar)
4. Q (RV1 en 1 y 3)
5.R (RV1 en 2 y 4)
6. P ⇒€R (método directo en 3 y 5)
7. (Q ⇒€R) ⇒€(P ⇒R) (método directo en 2 y 6)
8. (P ⇒€Q) ⇒€((Q ⇒€R) ⇒ (P ⇒€R)) (método directo en 1 y 7)
La anterior solución, muestra el esquema de la demostración, donde se hace una aplicación reiterada del método directo ya que lo que se debe probar es una cadena de implicaciones. 
A medida que setoman las hipótesis auxiliares, se va desplazando la demostración hacia la derecha, para mostrar que las siguientes afirmaciones están subordinadas a las hipótesis anteriores. Cuando se comienza a establecer conclusiones se vuelve a desplazar la demostración hacia la izquierda, hasta establecer la conclusión definitiva en la teoría original, es decir, aquella donde no hay hipótesis auxiliares.3. Si m y n son números enteros impares, entonces su producto mn es un entero impar.

Solución: 

Suponga que m y n son enteros impares (hipótesis auxiliar), entonces:

m = 2k1 + 1 y n = 2k2 + 1, con k1 y k2 enteros. 

Por tanto, mn = ( 2k1 + 1 ) ( 2k2+ 1 ) = 
=4k1k2 + 2k1+2k2 +1 = 2(2k1k2 + k1 + k2 ) + 1.

Ahora (2k1k2 + k1 + k2 ) ∈ Ζ,€luego, 2k1k2 +k1 + k2 = k.

Esto es: mn = 2k + 1, k ∈Z.

Luego mn es impar y por tanto, se concluye que: Si m y n son impares, mn también es impar.

1.4.2 Adjunción. Si P es verdadera, entonces P€∨€Q es verdadera.

Justificación:

1. P (hipótesis). 
2. P€⇒€P€∨ Q A2 
3. P€∨Q RV1 entre 1. y 2. 

1.4.3 Conmutatividad de la ∨. Si P ∨ Q es verdadera, entonces Q ∨ P es verdadera.Justificación: 
1. P ∨€Q (hipótesis) 
2. P ∨€Q ⇒€Q ∨€P A3 
3. Q ∨€P RV1 entre 1. y 2. 

1.4.4 Leyes de la implicación. 

1.4.4.1 Si Q es verdadera, entonces P ⇒€Q es verdadera, cualquiera que sea P.

Justificación: 

1. Q (hipótesis). 
2. Q€∨ ¬ P (adjunción). 
3. ¬€P ∨€Q conmutativa. 
4. P ⇒€Q def. de ⇒€

1.4.4.2 Si€¬€P es verdadera, entonces P€⇒€Q es verdadera. 

1.4.5 Silogismo.Si...