Metodos de factorizacion

Introduccion

La enseñanza matemática secundaria dedica poco tiempo al estudio de los números naturales. Sobre este tema, en los programas de estudio de secundaria, se evidencia una enseñanza muy algoritmizada y sintáctica, en la cual, los estudiantes deben memorizar algorítmos que carecen de justificación teórica, como por ejemplo: algoritmos de factorización de un número y el algoritmo paracalcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
Dentro de los tópicos más importantes en el estudio de los números naturales están los métodos de factorización prima, pues son utilizados, por ejemplo, en la obtención del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, en operaciones con fracciones y en la factorización de polinomios. Sin embargo, en secundaria, se suele usar unmétodo muy ineficiente, lo que provoca que se trabaje con números pequeños, y en consecuencia, la mayoría de problemas sean descontextualizados.
En el presente trabajo, se brinda una presentación a un nivel elemental y completo de los métodos de factorización, específicamente el método de Fermat y el método de Euler. En la primera parte, se incluye una breve biografía de ambos, ya que sonconsiderados los que mayores aportes han hecho en lo que respecta al tema. En cada una se resaltan algunas de sus contribuciones al desarrollo de la teoría de números. En la segunda parte, se brinda un tratamiento sencillo y didáctico de algunos tópicos de la teoría de números. Finalmente, en la tercera parte, se logra realizar una clasificación de algunos métodos de factorización prima, de los cuales sebrinda su algoritmo, entre ellos, los propuestos por Fermat y Euler.

¿Qué es la División Sintética?
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La División Sintética es un procedimiento abreviado para realizar la división de un polinomio P(x) = anxn + an - 1xn - 1 +...+ a1x + a0 de grado n, esto es an 0, entre un polinomio lineal x - c. El procedimiento para realizar esta división es muy simple,primero se toman todos los coeficientes del polinomio P(x) y la constante c, con estos se construye una especie de ''casita'' que ayudará en el proceso

Lo primero es ''bajar'' el coeficiente an, a este coeficiente también lo denotamos por bn - 1, luego se multiplica por la constante c, el resultado se coloca en la segunda columna yse suma al siguiente coeficiente an - 1, al resultado lo denotamos bn - 2

Este último resultado se multiplica nuevamente por c y se le suma al coeficiente an - 2 y el proceso se repite hasta llegar a a0. Los resultados parciales que se obtienen se denotan por bn - 1, bn - 2, ... , b1, b0 (se inicia con bn - 1 pues el cociente tieneun grado menos que el dividendo), y el último valor obtenido se denota por r, pues es el residuo de la división, de esta manera lo que se obtiene es

Así, el cociente de la división de P(x) por x - c es bn - 1xn - 1 + bn - 2xn - 2 + ... + b1x1 + b0 con un residuo r, en donde los coeficientes se detallan como

bn - 1 = an
bn - 2 = cbn - 1 + an -1
bn - 3 = cbn - 2 + an - 2

b1 = cb2 + a2
b0 = cb1 + a1
r = cb0 + a0
EJEMPLO 1 (División Sintética)
Realice la división de P(x) = 3x4 + 2x3 - x2 + 4x + 2 entre x + 2.
Solución
Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene

Así, el cociente de ladivisión de P(x) entre x + 2 es 3x3 - 4x2 + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.
División sintética
La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio de grado , por un polinomio de la forma , con , a partir de los coeficiente de y el cero de .

El procedimiento que usaremos para realizar la...