metodos de integracion

Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar unatabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida
.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es .
Por tanto:

Ejemplo
Calcular la integral indefinida .
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que para x>0. De este modo, se podría responder que la solución al problema es , pero hay que tener en cuentaque la fórmula sólo es válida para valores positivos de x. La restricción es muy razonable, ya que la función no está definida para valores reales negativos o 0. Sin embargo, para valores negativos también existe una integral indefinida de , que es . Para incluir ambos casos, se dice que la solución es .


Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o porcambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltarque este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.
Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es contínua en I en tal caso:


Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:
1. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen más errores en este paso).
2. Determinar el diferencial de "u"("du").
3. Reescribir el integral ya sustituido.
Integrar.
Consejo
Intente elegir como alguna función en el integrando cuya diferencial también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible, escoja como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que laconjetura sea errónea; si su primera suposición no funciona, intente con otra.

Nota
La dificultad del "Método De Integración Por Sustitución" consiste en identificar la función que será sustituida, para esto lo que se intenta es encontrar la función que al derivar nos del diferencial de la integral. Siendo de esta manera podremos sustituir la integral completa. Esto no significa que siempre lafunción al derivar del diferencial, también será necesario dependiendo de las funciones tener ciertos despejes para encontrar el diferencial y poder sustituir la integral en su totalidad.



Ejemplo:
integral a resolver:

En la integral reemplazamos con ( ):
(1)
Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Tenemos que por tanto derivando seobtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente..
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites deintegración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo :
(límite inferior)
(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

Facilitación de método:

Ejemplo # 1
Encuentre la primitiva de la función .
En este caso esta función no tiene ninguna primitiva inmediata ya...