metodos de integracion

Cap´ıtulo 1

Antidiferenciaci´
on. M´
etodos de
integraci´
on.
1.1.

Antidiferenciaci´
on

Definici´
on 1 Sea las funciones f y F definidas en un intervalo I, entonces F es una antiderivada
de f sobre I ssi:
F (x) = f (x), ∀x ∈ I.
El proceso de encontrar una antiderivada de una funci´
on se denomina antidiferenciaci´on.
Ejemplo 1 Si f (x) = 5x4 , entonces F1 (x) = x5 , F2 (x) =x5 +2, F3 (x) = x5 +107, son antiderivadas
de f en R. En efecto, F1 (x) = F2 (x) = F3 (x) = 5x4 , ∀x. Luego si C es una constante, podriamos
decir de F (x) = x5 + C es siempre una antiderivada de f en R.
Teorema 1 Supongamos que las siguientes condiciones son satisfechas:
(a) F es cualquier antiderivada de f sobre I,
(b) C es cualquier constante,
(c) G(x) = F (x) + C, donde x ∈ I
Entonces Ges una antiderivada de f sobre I.
Teorema 2 Si F y G son antiderivadas de f sobre un intervalo I entonces existe un n´
umero C tal
que:
G(x) = F (x) + C, ∀x ∈ I
Teorema 3 Si H (x) = 0 ∀x ∈ I, entonces H es constante en I.
Ahora usaremos el simbolismo
intervalo.

f (x)dx para denotar una antiderivada arbitraria de f sobre un

Definici´
on 2 Sea C una constante y f definida sobre I.Entonces:
f (x)dx = F (x) + C, ∀x ∈ I
ssi
F (x) = f (x), ∀x ∈ I.
1

´ METODOS
´
´
CAP´ITULO 1. ANTIDIFERENCIACION.
DE INTEGRACION.

2
Teorema 4

(a) Si k es cualquier n´
umero, entonces

kdx = kx + C
kxr dx =

(b) Si k es cualquier n´
umero y r ∈ Q − {−1}, entonces

kxr+1
r+1

+C

Ejemplo 2
3x2 dx = 3
6x−3 dx = 6

x3
+ C = x3 + C.
3

−3
x−2
+ C = −3x−2 + C = 2+ C.
−2
x
1

√
1 x /2
1
2 1
√ dx = √ 1
+ C = √ x /2 + C = 2x + C
2x
2 /2
2
Teorema 5 Si k cualquier n´
umero y F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces
kf (x)dx = kF (x) + C, ∀x ∈ I.
En conclusi´
on podemos expresar
kf (x)dx = k

f (x)dx.

Teorema 6 Si F1 , F2 , ..., Fn son antiderivadas de f1 , f2 , ..., fn sobre un intervalo I, respectivamente.
Entonces[f1 + f2 + ... + fn ]dx = F1 + F2 + ... + Fn (x) + C, ∀x ∈ I
=

f1 (x)dx +

f2 (x)dx + ... +

fn (x)dx

Ejemplo 3
1 Encontrar

(x3 − 4x2 + 10)dx =
(x3 − 4x2 + 10)dx =

x3 dx +

−4x2 dx +

=

x4
4

+ C1 +

=

x4
4

−

4x3
3

−4x3
3

10dx

+ C2 + 10x + C3

+ 10x + C,

donde C = C1 + C2 + C3 .
2 Encontrar

(x2 +4)2
1
x /2

=
(x2 +4)2
1
x /2

7(x

/2

3

+ 8x

/2

=
−1

+ 16x

/2

)dx

x4 +8x2 +16
dx
1
x /2

=

2 9 /2
9x

+ 8 · 25 x

5

=

2 9 /2
9x

+

16 5 /2
5 x

=
/2

1

+ 16 · 2x
1

+ 32x

/2

/2

+C

+C

Teorema 7 (Regla de la cadena para la Antidiferenciaci´on)
Si g es una funci´
on diferenciable sobre un intervalo I, y f tiene una antiderivada F sobre I quecontiene todos los n´
umeros g(x) cuando x ∈ I, entonces:
f (x) · g (x)dx = F (g(x)) + C, ∀x ∈ I

´
1.1. ANTIDIFERENCIACION

3

Demostraci´
on 1 Por hipotesis, F (s) = f (s), si s ∈ J. Entonces por la regla de la cadena Dx (F ◦
g) = F (g(x)) · g (x) = f (g(x)) · g (x) si x ∈ I.
Nota: El teorema anterior nos permite obtener
y du = g (x)dx.
As´ı podemoss escribir

f (g(x))·g (x)dxhaciendo la sustituci´on u = g(x)

f (g(x))g (x)dx =

f (u) · du = F (u) + C

Teorema 8 (F´
ormula general para la antidiferenciaci´on de potencias)
Si g es una funci´
on diferenciable en I, k cualquier n´
umero, r ∈ Q − {−1}, entonces ∀x ∈ I.
k(g(x))r g (x)dx = k
√
3
x2 + 1 · 2xdx

Ejemplo 4 Encontrar

x2 + 1 = g(x), g (x) = 2x,

(g(x))3 · g (x)dx =

2

√x
dx
x3 +8

Ejemplo5 Encontrar

(g(x))4
(x2 + 1)4
+C =
+C
4
4

u = x3 + 8, du = 3x2 dx
1

1
1 du
√ =
3 u
3
Ejemplo 6

(g(x))r+1
+C
r+1

u

−1

/2

2 1
2
2 u /2
+ C = u /2 + C =
du = 1
3 /2
3
3

x3 + 8 + C

(5x − 4)10 dx =
u = 5x − 4, du = 5dx
(5x − 4)10 dx =
1
55 (5x

=

u10 ·

du
5

1
5

=

1
5

u10 du =

1 u11
5 11

+C

− 4)11 + C

12x−9
(2x2...