METODOS DE INTEGRACION

METODOS DE INTEGRACION

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que:
,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale ahallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:
.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en laingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y laintegración son procesos inversos.




METODO DE ARANDELAS
Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco más pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función queformara el sólido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es \Delta x o \Delta y dependiendo del eje de rotación.

1. Se dibuja, en un diagrama, el áreageneratriz, una franja representativa paralela al eje de rotación, y su rectángulo correspondiente.
2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilíndrico producido en la rotación del rectángulo genérico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectangulos.
3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el número derectángulos crece indefinidamente.



EJEMPLO:
Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje  la figura encerrada por las curvas:



Para encontrar el área de un anillo: 
tenemos que:

Encontramos el volumen 
 
calculamos para n-anillos y optimizamos. 
 
Reescribimos como la integral variando de 0 a 1 
 
resolvemos:  


CAMBIO DE VARIABLE
Un cambio de variable es una técnicaempleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:
Ecuaciones bicuadradas
Ecuaciones y sistemas exponencialesEcuaciones de tercer grado
Ecuaciones de cuarto grado
Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:
Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de . Se siguen los siguientes pasos:
Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:

Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que32x = z2, y tenemos:

Se deshace el cambio de variable:

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplirse.

INTEGRACION POR PARTES
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Eligiendo adecuadamente los valores de  y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.
.
Desde un punto...