Metodos De Solucion De Ecuaciones

INSTITUTO TECNOLOGICO DE ORIZABA

KAREN IVETTE MEDINA MEZA

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ADRIANA HUERTA TREJO

METODOS NUMERICOS

METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES

26 – ABRIL – 2012

METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES
2.1 Raíces de ecuaciones:
La fórmula cuadrática -b +- " b2 -4ac (2.1)
2a
Se usa para resolver ecuaciones del tipo Ax2+ bx + c
Ej. = f(x) = ax2 - bx + c ( 2.2)
A los valores calculados en la ec. (2.1) se les llama raíces de la ecuación ( 2.2 ). Son valores de x que hacen a la ecuación igual a cero.
Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a f(x) = 0.
Fundamentos Matemáticos
Las funciones algebraicas como los polinomios se representan generalmente como:
fn(x) = a0 + a1 + a2 x2 + .......... anxn
Ejemplos:
f2(x) =1-2.37x+ 7.5x2
f6(x) = 5x2 -x3 + 7x6
f5(x) = 2 - 8x + x3 + 4x5
Las funciones “trascendentales” contienen términos trigonométricos , exponenciales o logarítmicos.
Ejemplos:
f(x) = lnx2 -1
f(x) = ex sen x + ln 3x + x3
f(x) = e-0.2x sen(3x-0.5)
Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas.
Si f(x) es un polinomio factorizable, como:
f(x) = ( x- x1 ) ( x - x2 ) ( x - x3 ) .......( x - xn )
Se tiene que xn es la n - ésima raíz de f (x) = 0
Ejemplo:
f(x)= x3 -7x2 -4x + 28 = 0
( x2 - 4 ) ( x - 7 ) = 0
x1 = 2, x2 = -2, x3 = 7
2.2 Métodos de intervalo
2.2.1 Método de Bisección
PASO 1.- Alija los valores iniciales inferior xi y superior xs.
PASO 2.- La primera aproximación a la raíz xr se determina como:
xr = xi + xs.
2
PASO 3.- Calcule f(xi), f(xr) para determinaren que subintervalo cae la raíz.
PASO 4.- a ) Si f(xi) f(xr) < o, la raíz se encuentra en este subintervalo entonces xs. = xr, continúe el paso 2.
b)Si f(xi) f(xr) > 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, entonces xi = xr, continúe el paso 2.
PASO 5.- Cuando Ea < , el cálculo termina.

Ej. Determine el coeficiente de rozamiento c =? Necesario para que un paracaidistade masa = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s, después de una caída libre de t = 10 seg. La aceleración de la gravedad es de 9.8 m/s2. La ecuación a utilizar es:
f(c) = gm/c ( 1 - e-(c/m) t ) - v = 0
Solución analítica:
Aproximación gráfica:
f(c) = 9.8 (68.1)/c ( 1- e -(c/68.1) ) -40
= 667.38/c ( 1-e(-0.146843) ) - 40
c | f ( c ) |
4 | 34.115 |
8 | 17.653 |
12 | 6.067 |
16 | -2.269|
20 | -8.401 |

 bisección
xi = 12, xs = 16
xr = (12+16)/2 = 14, xr = xs
f(xi) = f(12) = 6.067
f(xr) = f(14) = 1.5687
f(xi) f(xr) = (6.067)( 1.5687) > 0, la raíz se encuentra en el subintervalo superior, xi = xr
n = 2
xi = 14, xs = 16 , xr = 15
f(xi) = f(14) = 1.5687
f(xr) = f(15) = -0.4248
f(xi) f(xr) = (1.5687)( -0.4248) < 0, la raíz se encuentra en este subientervalo, xs= xr
Ea = {15-14/15} x 100 = 6.667 %
n = 3
xi = 14, xs = 15 , , xr = 14.5
f(xi) = f(14) = 1.5687
f(xi) =f(14.5)= 0.5523
f(xi) f(xi) > 0, xi = xr
Ea = {14.5-15/14.5} x 100 = 3.448 %
n = 4
xi = 14.5, xs = 15 , , xr = 14.75
f(xi) = f(14.5) = 0.5523
f(xi) =f(14.75)= 0.05896
f(xi) f(xi) > 0, xi = xr
Ea = {14.75-14.5/14.75} x 100 = 1.695 %
n = 5
xi = 14.75, xs = 15 , , xr = 14.875f(xi) = f(14.75) = 0.5896
f(xi) =f(14.87)= -0.1841
f(xi) f(xi) < 0, xs= xr
Ea = {14.875-14.75/14.875} x 100= 0.840 %
n = 6
xi = 14.75, xs = 14.875 , , xr = 14.8125
Ea = {14.8125-14.875/14.8126} x 100= 0.4219 %
Ea <
0.422% < 0.5 %
xr = 14.8125
iteración | Xi | Xs | Xr | Ea % |
1 | 12 | 16 | 14 | 6.667 |
2 | 14 | 16 | 12 | 3.448 |
3 | 14 | 15 | 14.5 | 1.695 |
4 | 14.5 |15 | 14.75 | 0.480 |
5 | 14.75 | 15 | 14.875 | 0.422 |
6 | 14.75 | 14.875 | 14.8125 | |
2.2.2 Método de la Falsa posición
Este , método utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz. De acuerdo a la siguiente figura:

La intersección de la línea recta con el eje de la x puede estimarse:
f(xi ) = f(xs) (2.4)
xr - xi xr - xs...