Metodos Deterministicos

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
100412A – Ecuaciones Diferenciales

Trabajo colaborativo No 1

Curso de ecuaciones diferenciales
Ejercicios

Grupo: 100412_153

Tutor:

Edwin Andrés Murillo Fernández

Integrantes del grupo:

Nombre | Código |
Robert Washington Castillo Preciado | 16.494.407 |
Carlos JulioVargas | 16.230.816 |
Iván Darío Correa Martínez | 16.289.478 |

Octubre de 2012

1.
a) y(4) – y”= 0
* Orden 4
* Lineal

b) x d3ydx3 – (dydx)4 + y = 0
* Orden 3
* No es lineal

c) (y2 – 1 ) dx + x dy = 0 Equivalentemente
X dydx = 1 - y2
* De orden 1
* No es lineal
2.
y = c1 ex + c2 e-2x

a) y(0) = 1, y’(0) = 2
Como y = c1 ex + c2 e-2x entonces y’=c1 ex - 2 c2 e-2x

Ahora por las condiciones iniciales tenemos que

y(0) = 1 ←→ 1 = c1 + c2
y’(0) = 2 ←→ 2 = c1 - 2c2

Resolvemos ahora el sistema dado

1. c1 + c2 = 1 por (2)→ 2c1 + 2c2 = 2
2. c1 - 2c2 = 2 → c1 - 2c2 = 2
3c1 = 4
c1 = 43

Ahora remplazamos en 1, tenemos que

43 + c2 = 1 esto es c2 = - 13

La solución particularqueda:

y = 43 ex - 13 e-2x

b) y(1) = 0, y’(1) = e
y = c1 ex + c2 e-2x
y’ = c1 ex - 2c2 e-2x

Ahora, por las condiciones iniciales tenemos

y(1) = 0 ←→ 0 = c1 e + c2 e-2
y’(1) = e ←→ e = c1 e - 2c2 e-2

Resolvemos el sistema:

1. c1 e + c2 e-2 = 0 por e → 2c1 e + 2c2 e-2 = 0
2. c1 e - 2c2 e-2 = e por e → c1 e + 2c2 e-2 = e3c1 e = e
c1 = e3e = 13

Remplazando en 1 tenemos

13e + c2 e-2 = 0 → c2 e-2 = - 13e
c2 = - 13e3

La solución particular nos queda:

y = 13ex - 13e3 e-2x


3ºA) dydx =dd -x1+x

dydx =x1+y-xyy1+y → dydx=x+xy-xyy+y

→dydx=xy+y2 →y+y2dy=xdx

→y+y2dy=xdx

y22+y33=x22+c |

3ºB) (y + y cos (xy))dx + (x + x cos (xy))dy = 0
M = y+ycos(xy)
N = x +xcos⁡(xy)
∂M∂y = 1 + cos (xy) – xy sen (xy)
∂N∂x = 1 + cos (xy) – xy sen (xy)
Esto es ∂M∂y = ∂N∂x luego la ecuación dada es exacta
De esta manera existe un campo escalar f tal que:
f(x,y) = Mdx+g(y)
f(x,y) = y+ycosxydx+g(y)
f(x,y) = xy + sen (xy) + g (y)
Ahora como
∂f∂y = N, se tiene que
x + x cos (xy) + g’(y) = x + x cos (xy)
g’(y) = 0 → g(y) = c0
La solución general es:
f(x,y) = c1es decir
xy + sen (xy) + c0 = c1
xy + sen (xy) = c donde c = c1 – c0
a) (3x2+6xy2)dx + 6x2y+4y3)dy = 0
M = 3x2 + 6xy2
N = 6x2y+4y3
∂M∂y = 12xy ∂M∂y = ∂N∂x = 1 La ecuación es exacta
∂N∂x = 12xy
Luego existe un campo escalar f tal que:
∂f∂x = M y ∂f∂y = N
f(x,y) = Mdx+gy
f(x,y) = 3x2 + 6xy2dx + g(y)
f(x,y) = x3 + 3x2y2 + g(y)
como ∂f∂y = N, se tiene que
6x2y + g’(y) = 6x2y + 4y3g’(y) = 4y3
g(y) = y4
La solución general es:
x3 + 3x2y2 + y4 = c

c) e2x-ydy+ey-2xdx=0

→e2x∙e-ydy=-ey∙e-2xdx

→e-yeydy=-e-2xe-2xdx→e-2ydy=-e-4xdx

→-12e-2y=14e-4x+c

4) RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

A) y-x3dx+x+y3dy=0

dmdy=1=dNdx
→mx,y=y-x3→dmdy=1

Nx,y=x+y3→dNdX=1

LUEGO LA ECUACION ES EXACTAFx,y=mx,ydx=y-x3dx

Fx,y=xy-x44+gy

f'yx,y =x+g'y=x+y3

g'y=x+y3-x→g'y=y3

gy=y3dy→gy=y44+c
fx,y=yx-x44+y44+c

B) y+ycosxydx+x+xcosxydy=0

→mx,y=y+ycosxy→dMdy=1+cosxy-yxsenoxy

Nx,y=x+xcosxy→dNdX=1+cosxy-yxsenxy

→dMdy=dNdx

LA ECUACION ES EXACTA


B 2) FX,y=mx,ydx→fx,y=y+ycosxydx
→u=xy→du=ydx→dx=duy
→fx,y=ydx+y.cos u duy
→fx,y=yx+cos u du=yx+sen u+gy
→fy,y=yx+senyx+gy

→f'y x,y=x+xcos yx+g'yNx,y

→x+xcos yx +g'y=x+xcos xy

→g'y=x+x cos xy-x-xcos yx

→g'y=0→gy=c

→fx,y=yx+sen yx+c

C) 3x2+6xy2dx+6x2y+4y3dy=0

→Mx,y=3x2+6xy2 →dmdy=12xy.
→Nx,y=6x2 y+4y3→dNdx=12xy→dMdy=dNdx

LUEGO LA EC.D ES EXACTA

→fx,y=mx,ydx→fx,y=3x2+6xy2dx
→fx,y=3x33+6x2 y32+gy

→fx,y=x3+3x2y2+gy

→f'x,y=6x2y+g'y=Nx,y=6x2y +4y3...