Metodos indirectos

M´todos Indirectos e

Sistemas Lineales Ax = b.
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´ ´ BAIN053 Metodos Numericos.

Abril, 2011

BAIN053 M´todos Num´ricos. e e

Sistemas Lineales Ax = b.

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Teorema del Punto Fijo
Considere la matriz T ∈ Mn ( R). Si existe L ∈]0, 1[ tal que Tx ≤ L x ∀x ∈ Rn , entonces, ∃!x ∈ Rn La sucesi´n o x(0) = x0 ∈ Rn x(k+1) = T x(k) + c k ≥ 1 convergea la soluci´n x de x = T x + c. o ¯ x − x(k) ≤ ¯ Lk x(1) − x(0) 1−L tal que x = T x + c.

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Resolviendo Ax = bde manera iterativa
Cuando los sistemas son de gran tama˜o es conveniente construir n una sucesi´n de vectores que converja a la soluci´n del sistema. o o Bas´ndonos en el teorema anterior,transformamos el sistema lineal a Ax = b en un problema de punto fijo equivalente x = Tx + c cuya soluci´n se obtiene como el l´ o ımite de la sucesi´n o x(0) = x0 ∈ Rn x(k+1) = T x(k) + c k ≥ 1

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Condiciones de Convergencia

Para que la sucesi´n anterior sea convergente hay que asegurar que o Tx ≤ L x con L ∈]0, 1[.Dado que Tx ≤ T · x bastar´ que, para alguna norma subordinada, la matriz de iteraci´n a o T satisfaga T ≤ 1. ∀x ∈ Rn ,

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Radio Espectral y Convergencia
El radio espectral est´ estrechamente relacionado con las normas a subordinadas, lo que nos permite establecer el siguiente criterio de convergencia: Lasucesi´n definida por o x(0) = x0 ∈ Rn x(k+1) = T x(k) + c k ≥ 1 converge a la soluci´n unica si y solamente si ρ(T ) < 1. o ´

Observaci´n: Mientras menor sea el radio espectral de la matriz o deiteraci´n, m´s r´pida ser´ la convergencia del m´todo iterativo. o a a a e

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Criterios de Parada

Una vez que se...