Metodos Isoclinas

Tema 1

Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales
Introducci´n o
La Modelizaci´n y Simulaci´n es una ´rea enorme de la ciencia pura y aplicada, a la o o a que intentamos aproximarnos en esta asignatura. Dadas las limitaciones, centraremos la materia a estudiar en los Modelos Matem´ticos basados en el uso de Ecuaciones a Diferenciales, y en particular estudiaremos con cierto detalle lasEcuaciones Diferenciales Ordinarias. Esto permitir´ adquirir una formaci´n lo suficientemente s´lida como para a o o poder abordar en el futuro profesional, si fuera necesario, problemas m´s complicados, a como los derivados del uso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, o bien otro tipo de modelos no basados en ecuaciones diferenciales. En este primer tema se presentan una serie de conceptos b´sicosacerca de las ecuaa ciones diferenciales.

1.1

Definiciones Generales

o o Definici´n: Llamaremos ecuaci´n diferencial ordinaria (e.d.o.) a toda relaci´n entre una o variable independiente x, una dependiente (la funci´n desconocida y(x)) y sus derivadas o (n) (x): y (x), y (x), . . . , y F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 o o Definici´n: Se llama orden de una ecuaci´n diferencial ordinariaal mayor de los ´rdenes o de las derivadas que contiene. La clasificaci´n m´s general de las ecuaciones diferenciales se realiza en funci´n del o a o n´mero de variables independientes presentes, las ecuaciones diferenciales ordinarias, tal u 1

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y como se han definido, involucran a una unica variable independiente y, en consecuencia, ´las derivadas que aparecen en la ecuaci´n son derivadas ordinarias. En cambio, si se o tienen dos o m´s variables independientes, las ecuaciones poseer´n derivadas parciales a a y, por tanto, ser´n denominadas ecuaciones en derivadas parciales (e.d.p.) a Ejemplos:
• xy + y + xy = 0 es una e.d.o. de segundo orden con utilidad en la aerodin´mica. a • y +
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x y

= ln y es una e.d.o. de primerorden.

x • m d 2 = F es una e.d.o. de segundo orden (Segunda Ley de Newton de la Mec´nica). a dt

• • •

dN dt dy dx

= kN es la ecuaci´n de Malthus (e.d.o. de primer orden). o

= y(2−3x) es una e.d.o. de primer orden que aparece en Ecolog´ al estudiar la compeıa x(1+3y) tencia entre dos especies. = aQ, con a < 0, es la ecuaci´n que modeliza la desintegraci´n de una sustancia o oradiactiva (e.d.o. de primer orden).
dQ dt

• y − (1 − y 2 )y + 9y = 0 es la ecuaci´n de Van der Pol (e.d.o. de segundo orden), con o aplicaci´n en varios campos de la ciencia. o • •
∂2φ ∂x2 ∂2y ∂x2

+ −

∂2φ ∂y 2

= 0 es la ecuaci´n de Laplace en el plano (e.d.p. de segundo orden). o = 0 es la ecuaci´n de ondas en una dimensi´n (e.d.p. de segundo orden). o o

2 1 ∂ y v 2 ∂t2

Estudiaremosen esta asignatura diversos tipos de e.d.o. y sus aplicaciones, particularmente e.d.o. de primer orden. Si en una e.d.o. de primer orden fuera posible despejar y , se dice que la ecuaci´n se o presenta en forma normal: dy = y = f (x, y) dx

1.2

Soluciones exactas

Definici´n: Llamaremos soluci´n de una e.d.o. F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 a toda o o funci´n y = φ(x) que sustituida enla ecuaci´n la convierta en una identidad. o o Ejemplos:
• La funci´n y = e2x es soluci´n de la ecuaci´n diferencial de segundo orden: y −5y +6y = 0, o o o puesto que y = 2e2x , y = 4e2x y por tanto: 4e2x − 5(2e2x ) + 6e2x = 10e2x − 10e2x ≡ 0 • Las funciones N1 (t) = 5ekt y N2 (t) = 12ekt son soluciones de la Ecuaci´n de Malthus antes o escrita.

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3

• La funci´n y = ax2 +bx+c, para cualesquiera constantes a, b y c, es soluci´n de la ecuaci´n o o o de tercer orden y = 0.

Definici´n: Se llama soluci´n general de una ecuaci´n diferencial ordinaria de primer o o o orden a una expresi´n del tipo: o y = y(x, C) donde C es una constante real, de forma que para cada valor de C la funci´n y = y(x, C) o sea soluci´n de la e.d.o....