Metodos Iterativos Para Encontrar Raices De Ecuaciones

UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE ING.CIVIL

METODOS NUMERICOS

“METODOS PARA ENCONTRAR RAICES DE ECUACIONE

INDICE………………………………………………………………………2

1) Introducción…………………………………………………………..3

2) Método de Bisección………………………………………………..4

3) Método de Regla Falsa…………………………………………….10

4) Método de Punto Fijo……………………………………………….16

5) Método deNewton-Rapson………………………………………..22

6) Método de la Secante………………………………………………28

7) Análisis Y Conclusiones generales………………………………34

1) INTRODUCCION

En este trabajo se analizaran diversas situaciones que nos llevan a tratar, uno de los problemas más antiguos y básicos del cálculo numérico es el problema de búsqueda de la solución de una ecuación, es decir encontrar los valores de lavariable x que satisfacen la ecuación f(x)=0, para una función f dada. Las ecuaciones pueden ser algebraicas (la función f es un polinomio), por ejemplo: x2+5x-4=0 o bien trascendentes puesto que están constituidas por funciones trascendentes tales como funciones exponenciales, trigonométricas, logarítmicas,etc.,por ejemplo: sen x; ln x. Solamente en casos muy simples, de ecuaciones algebraicas,existen fórmulas que permiten resolverlas en términos de sus coeficientes, para el resto de las ecuaciones se utilizan métodos aproximados que permiten mejorar la solución por simple repetición del mismo método hasta adquirir el grado de aproximación requerido. Estos métodos son apropiados para realizarlos utilizando computadoras puesto que comprenden la repetición de un proceso, es deciriteración. A continuación se describen métodos numéricos que permiten calcular las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes.

Existen diversos tipos de métodos clasificados según la siguiente información:

Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra la raíz buscada, son llamados métodos cerrados.

Estos son: - Bisección
-Regla falsa

A diferencia de los métodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raíz buscada, los métodos abiertos que se verán requieren de un solo valor o dos valores iniciales que no necesariamente encierran dicha raíz; esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés (vayan probablemente a otra raíz),pero tienen la ventaja que cuando convergen lo hacen "más rápidamente" que las sucesiones generadas por los métodos cerrados.

Estos son: - Newton Rapson
- Punto fijo
- Secante


2) METODO DE BISECCIÓN

Si se tiene una función f(x) continua en el intervalo [xL,xu], con f(xL) y f(xu)de signos opuestos existe un valor x* incluido en el intervalo (xL,xu) tal que f(x*)=0. El método requiere de dividir el intervalo a la mitad y localizar la mitad que contiene a la raíz. El proceso se repite y su aproximación mejora a medida que los subintervalos se dividen en intervalos más y más pequeños.

La primera aproximación a la raíz, se determina como:
=(+)/2
Para determinar en quesubintervalo está la raíz debe considerarse lo siguiente:
Si f(xM)=0 , entonces la raíz es igual a Xm.
Si f(xM). f(xL)<0, la raíz se encuentra en el primer subintervalo (xL, xM).
Si f(xM). f(xL)>0, la raíz se encuentra en el 2do subintervalo (xM, xu).

Se calcula una nueva aproximación a la raíz en el nuevo subintervalo y se continúa con las iteraciones que se requiera.

El método debisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [xL, xu] y f(xL)f(xu) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(xL) y f(xu) tienen distinto signo.

Si existieran...