Metodos iterativos

METODOS ITERATIVOS
Sistemas lineales
En el caso de un sistema lineal de ecuaciones, las dos clases principales de métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los más generales métodos del subespacio de Krylov
Métodos iterativos estacionarios
Los métodos iterativos estacionarios resuelven un sistema lineal con un operador que se aproxima al original; y basándose en la medidade error (el residuo), desde una ecuación de corrección para la que se repite este proceso. Mientras que estos métodos son sencillos de derivar, implementar y analizar, la convergencia normalmente sólo está garantizada para una clase limitada de matrices.
Métodos del subespacio de Krylov
Los métodos del subespacio de Krylov forman una base ortogonal de la secuencia de potencias de la matriz porel residuo inicial (la secuencia de Krylov). Las aproximaciones a la solución se forman minimizando el residuo en el subespacio formado

Ventajas y Desventajas
Un elemento en contra que tienen los métodos iterativos sobre los métodos directos es que calculan aproximaciones a la solución. Los métodos iterativos se usan cuando no se conoce un método para obtener la solución en forma exacta.También se utilizan cuando el método para determinar la solución exacta requiere mucho tiempo de calculo, cuando una respuesta aproximada es adecuada, y cuando el numero de iteracioneses relativamente reducido.

Método Iterativo General

Un método iterativo consta de los siguientes pasos.
1. inicia con una solución aproximada (Semilla),
2. ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir unamejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación
de recurrencia.
3. se repite el paso anterior pero usando como semilla la aproximación obtenida.

Método de Jacobi
El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mas simple y se aplica
solo a sistemas cuadrados,es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

Convergencia en Jacobi

Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la garantía de que el método va a converger,
es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente mas proximas a la solución.

En el caso del método de Jacobi no existe una condición exacta para la convergencia. Lo mejores una condición
que garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse puede o no haberla es la siguiente:

Si la matriz de coeficientes original del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el método de Jacobi seguro converge.

Matriz Diagonalmente Dominante

Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento dela diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante.

El Método de Gauss-Seidel:

El metodo de Gauss-Seideles muysemejante al metodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incognitas para determinar una nueva aproximacion, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incognitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente. Por ejemplo, en el metodo de Jacobi se obtiene en el primer cálculo xi+1, pero este valor de x no se utiliza sino hasta lasiguiente iteración. En el metodo de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las variables recién calculadas.
Raíces de ecuaciones
Sea. Los valores de x que hacen que y=0 se denominan raíces de la ecuación. El teorema fundamental del álgebra...