Metodos Matematicos

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ ıtulo 11

Funciones elementales
La familiaridad que a trav´s del uso hemos llegado a adquirir con funciones como la exponencial, e el logaritmo, las funciones trigonom´tricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca e hemos establecido una definici´n ‘anal´ o ıtica’ rigurosa de todas ellas. Mediante consideraciones gr´ficas,en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas a propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia ), de las que hemos ido deduciendo las dem´s. a Excepciones notables a esta situaci´n han sido la funci´n logaritmo y la funci´n exponencial. En o o o el cap´ ıtulo de integraci´n, el segundo teorema fundamental del c´lculo integral nos proporcion´ un o ao m´todo de construcci´n de la funci´n logaritmo como primitiva de la funci´n 1/x, obteni´ndose e o o o e luego la funci´n exponencial como inversa del logaritmo. No es esta la unica manera de construir o ´ estas funciones, como vamos a probar a continuaci´n, invirtiendo el proceso: definiremos primero la o funci´n exponencial como suma de una serie, y despu´s el logaritmo como inversa de laexponencial. o e Igualmente definiremos las funciones seno y coseno como sumas de ciertas series de potencias, demostrando despu´s que las funciones as´ definidas tienen todas las propiedades ‘tradicionales’ e ı de estas funciones. En la ultima secci´n, veremos c´mo tambi´n es posible construir las funciones ´ o o e trigonom´tricas por el m´todo de “las primitivas”, empezando con las funcionestrigonom´tricas e e e inversas. Situ´monos, pues, “en el principio de los tiempos”, como si nunca hubi´semos oido hablar de las e e funciones citadas, y sin m´s herramientas que los conocimientos te´ricos aprendidos a lo largo del a o curso (¡que no se apoyan en las propiedades de estas funciones!) probaremos su existencia partiendo de cero, “cre´ndolas de la nada”, bien mediante series de potencias, bienmediante primitivas a construidas por integraci´n. o

11.1.

Funciones elementales: construcci´n mediante series de poo tencias

Hemos visto c´mo dando por conocidas las propiedades b´sicas de derivaci´n de las funciones o a o elementales pod´ ıamos obtener una representaci´n de las mismas mediante series de potencias. o Sin embargo, desde el punto de vista del desarrollo l´gico del An´lisisMatem´tico, ser´ m´s o a a ıa a conveniente proceder al rev´s, es decir, tomar como punto de partida las series para definir las e funciones elementales y obtener de tal definici´n todas sus propiedades. Esbozaremos en lo que o sigue c´mo podr´ llevarse a cabo tal programa. o ıa 179

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CAP´ ITULO 11. FUNCIONES ELEMENTALES

11.1.1.

Funci´n exponencial o
+∞

xn tiene radio deconvergencia +∞, por lo que podemos definir en n! n=0 todo R una funci´n como suma de tal serie. o La serie de potencias Definici´n 11.1.1. Se llama funci´n exponencial a la definida por o o
+∞

exp : x ∈ R → exp(x) =
n=0

xn ∈R. n!

Como siempre, el n´mero exp(1) se denota por e, y se escribe ex en lugar de exp(x), notaci´n u o justificada por la propiedad (5) que probaremos a continuaci´n. oPropiedades 11.1.2. 1) La funci´n exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada o es ella misma: para cada x ∈ R, (ex ) = ex . 2) e0 = 1. 3) Para cada x ∈ R, e−x = y, en particular, ex = 0. 4) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey . 1 , ex

5) Dados n ∈ N y x ∈ R, enx es el producto de n factores iguales a ex , enx = ex · · · ex . 6) Para cada x ∈ R,
n

ex > 0 .

7) La funci´n exponencial esestrictamente creciente y convexa. En particular, es inyectiva. o 8) Se tiene
x→+∞

l´ ex = +∞ , ım

x→−∞

l´ ex = 0 . ım

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´n exponencial es (0, +∞). o Demostraci´n. Seg´n vimos en el cap´ o u ıtulo 6, es suficiente probar las dos primeras propiedades (ya vimos c´mo se obten´ las dem´s a partir de ellas). Pero la segunda es trivial y para...