Metodos Matematicos

MLección 1 de “Métodos Matemáticos II”, MMII_L1_c1: Introducción a las ecuaciones casi lineales
en derivadas parciales de primer orden
Guión:
Esta lección es de introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden y se estudian los temas siguientes: definición del problema, diferencias con las ecuaciones diferenciales ordinarias, aplicaciones, interpretación bajoel punto de vista de la teoría de ondas. Ejemplos de ecuaciones lineales. Todo lo que se estudia es básico para comprender las lecciones posteriores. La definición del modelo se puede encontrar en las referencias básicas y en estas notas de clase. El contenido introductorio de la clase se puede encontrar en los libros con título “Ecuaciones en derivadas parciales” y “Ecuaciones de laFísico-Matemática” que incluyan las de primer orden. Referencias básicas de la primera lección: Primera lección de los apuntes de “Métodos Matemáticos II” del Departamento. Capítulo 5, libro “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional” de L. Elsgoltz. Las aplicaciones se pueden encontrar en el libro: “Introduction to Partial Differential Equations with Applications” de E.C. Zachmanoglou and Dale W. Thoe,Dover 1975.

Ejercicios propuestos: 1. Interpretar geométricamente la solución del modelo:
ut cux 0, x , t 0; u( x,0) f (x) 1, x 1, 2 ;0 resto

2. Resolver mediante un CVI la ecuación lineal: u y ux u 1

Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran posibles erratas, y ala consulta de la bibliografía recomendada.

Notas de clase: Ecuaciones casi lineales en dos variables independientes
Las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden constituyen la base de las ecuaciones de mayor orden y de los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Con frecuencia los métodos de resolución de estos sistemas nos van a conducir a las de primer orden. Su estudio espor lo tanto básico e incluiría las no lineales de primer orden, pero nos limitaremos a estudiar las casi lineales, aunque incluiremos el estudio de las soluciones fuertes y débiles de las mismas. Las ecuaciones en derivadas parciales, casi-lineales, de primer orden y con 2 variables independientes (EDP10_CL_2VI), se definen como:

a(x,y,u) u x +b(x,y,u) u y =c(x,y,u), (x,y,u) G
donde a, b, c C1(G ) y G es un abierto de
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.

Buscamos soluciones u(x,y), que sean funciones de clase C1 en G, en lo que denominaremos Formulación Fuerte (FF), en contraposición a la Formulación Débil (FD) que definiremos posteriormente, como las soluciones bajo hipótesis mas generales que las aquí asumidas. Estas funciones en el espacio euclideo tridimensional son superficies cuya representaciónexplícita, z = u(x,y), denominaremos superficie integral (SI). La solución se podrá obtener mediante dos procedimientos, que son: a) Método de las características (MC), b) Método de Lagrange (ML).

Ejemplos introductorios
Este ejemplo sirve para comparar las EDP de primer orden con las ecuaciones diferenciales ordinarias EDO de primer orden, para reflejar las diferencias básicas que existen entre ambostipos de ecuaciones. La EDO de primer orden: u t = f(u,t) , t>0 , tiene como solución general: u(t,C), donde C es una constante resultante del proceso de integración. El problema de Cauchy (PCh) de la misma, se plantea obtener la solución particular que verifique las condiciones iniciales u(0) = uo , lo que equivale a obtener el valor de la constante

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C imponiendo que la solución generalcumpla la condición inicial en el punto (0,u o). La solución particular es el grafo de una curva como la del dibujo, que denominamos “curva integral”.
u u(t) u0 t

Si f es continua y lipstchiziana, se puede asegurar la existencia y unicidad de la solución o curva integral, u(t), en las proximidades del punto inicial (0,uo). El planteamiento que hemos visto del PCH para EDO de primer orden,...