Metodos mumericos

Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Sistemas de Ecuaciones Lineales
En la unidad dos hemos usado métodos numéricos para determinar el valor de x que satisface a una ecuación, f(x)=0. Ahora, determinaremos los valores de un conjunto de incógnitas que satisfacen un sistema de ecuaciones. Por lo tanto, el objetivo de esta Unidad es introducir al estudiante en los conceptosbásicos del cálculo matricial. Al final de la Unidad, el estudiante será capaz de hacer operaciones básicas sobre las matrices (inversión, determinante, descomposición LU) y de resolver sistemas de ecuaciones lineales por métodos directos e iterativos, sabiendo seleccionar la herramienta adecuada en el momento adecuado. El estudiante será igualmente capaz de diagnosticar la calidad de la soluciónobtenida. Como es bien sabido, el cálculo matricial está ligado a numerosos problemas de ingeniería y sirve de herramienta en la solución de muchos otros métodos numéricos. Por ejemplo, en el planteamiento de las ecuaciones de conservación de la masa y de conservación de la energía, se escriben relaciones lineales, que permiten obtener la cantidad de materia que circula en cada una de las corrientes deuna planta. En la solución de ciertos problemas de fenómenos de transporte, la transformación de ecuaciones diferenciales o en derivadas parciales se obtiene a través de una escritura lineal en donde aparecen matrices banda. El carácter tan general de los sistemas lineales hace necesaria su presentación. La solución de los sistemas lineales se muestra haciendo énfasis sobre la selección del tipode método en función del tipo de matriz.

Unidad III

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Métodos Numéricos para Ingenieros

Ing. Yerson Rodríguez

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Definiciones y Terminología
Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. Tal como se observa más abajo [A] es la notación corta para la matriz y aij designa un elemento individual de la matriz. Unconjunto horizontal de elementos es llamado renglón o fila; y uno vertical, columna. El primer subíndice i siempre designa el número del renglón en el cual está el elemento. El segundo subíndice j designa la columna. La matriz podrá ser representada por las formas siguientes:
 a11 a12 a13 L a1m     a 21 a 22 a 23 L a 2 m  a A = [ A] = {aij } = 31 a32 a33 L a3m     M M M O M     a n1 an 2 a n3 L a nm 

La matriz A se llama de dimensión (u orden) nxm. La suma de dos matrices de orden nxm, se define por la relación C=A+B en donde cada uno de los términos se obtiene por cij=aij + bij. La matriz E (de orden nxp) resultante del producto de la matriz A (de orden nxm) y de la matriz B (de orden mxp) se obtiene m mediante la relación: e ij = ∑ a ik b kj
k =1

Cabe señalar que la sumade dos matrices es conmutativa, A+B=B+A, mientras que el producto es distributivo con respecto a la adición C(A+B)=CA+CB. El producto no es conmutativo, es decir AB≠BA. ≠ Una matriz cuyo número de columnas y de líneas es el mismo, es una matriz cuadrada. La diagonal de una matriz es el conjunto de elementos tales que el índice de la línea es igual al índice de la columna (o sea todos loscoeficientes aij). La matriz nula está constituida exclusivamente de elementos nulos. La matriz unitaria (o identidad), I, contiene 1 en la diagonal y 0 en las demás posiciones.
Unidad III

1  0 I = 0   M 0 

0 0 L 1 0 L

0  0 0 1 L 0  M M O M  0 0 L 1 

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Ing. Yerson Rodríguez

Sistemas de Ecuaciones Lineales - Definiciones y Terminología
La matriztranspuesta, AT, de una matriz nxm es una matriz de orden mxn en donde todas las filas han sido intercambiadas entre sí. Una matriz de dimensión nx1 se llama vector columna. La transpuesta del vector columna es una matriz de dimensión 1xn, llamada también vector fila. Ciertas formas de matrices tienen un nombre especial asociado. Por ejemplo una matriz simétrica, S, es una matriz cuadrada que es...