Metodos Númericos

MÉTODO DE ADAMS
Métodos de integración numérica
La expresión general de los métodos de integración numérica está dada por

en donde el último valor de t en que se calculó y es tn y el número de valores pasados usados para calcular yn+1 es p+1.
Se considerará que en la ecuación anterior algunos de los ai y bi pueden ser cero, pero se supondrá que ap o bp no son cero.
Si en la ecuaciónanterior b−1=0, yn+1 está expresado como una combinación lineal de los valores conocidos de y y ˙y y es fácil de calcular. Las fórmulas con b−1=0 se denominan fórmulas de integración directa o abiertas.
Si b−1≠0 , la ecuación (26) es una función implícita de yn+1 porque y se
puede resolver solamente por procedimientos iterativos. Las fórmulas con b−1≠0 se denominan fórmulas de integraciónimplícitas o cerradas.
Como regla general, para fórmulas del mismo orden, las fórmulas implícitas son sustancialmente más exactas que las fórmulas directas.
En comparación con los métodos de integración del tipo Runge-Kutta, los métodos de integración numérica se caracterizan entonces por:
1. no ser auto iniciables
2. requerir aparte de la información del punto

3. evaluar la función (derivada) unasola vez por cada aplicación de la fórmula (el número de evaluaciones de la derivada en el caso de los métodos predictor - corrector dependerá del número de veces que sea necesario aplicar la fórmula correctora).
4. porque el uso combinado de fórmulas explícitas e implícitas permite estimar y corregir los errores por truncamiento locales. Esta estimación del error se puede utilizar para variar eltamaño
paso de integración.

Fórmulas directas, Métodos de Adams-Bashforth

Las fórmulas directas (abiertas) pueden utilizarse solas. Al uso de las fórmulas directas de Adams solas, se les llama métodos o predictores de Adams–Bashforth.
Los métodos de Adams-Bashforth más utilizados son los de segundo y cuarto orden. Como se podrá apreciar en sus ecuaciones, estas requieren del conocimientode la derivada evaluada en uno o hasta tres instantes anteriores respectivamente, por lo que la solución de la ecuación diferencial debe iniciarse con un procedimiento del tipo Runge-Kutta del mismo orden para obtener la información inicial requerida por el método de Adams.

Método de segundo orden
Este método está dado por la ecuación

cuyo error por truncamiento es
Método de cuartoorden
Esta fórmula directa está dada por la ecuación

con un error por truncamiento

Fórmulas implícitas, Métodos de Adams-Moulton
Las fórmulas implícitas (cerradas) no pueden utilizarse solas y se les llamará métodos o correctores de Adams-Moulton.

Método de segundo orden
Este método está dado por la ecuación

el cual es comúnmente llamado método trapezoidal cerrado.

Método de cuartoorden
Esta fórmula está dada por la ecuación

Métodos predictor - corrector
Si bien las fórmulas directas se pueden utilizar solas, proveyéndoles la información de arranque necesaria, las fórmulas implícitas no pueden emplearse solas.
Para poder hacer uso de las fórmulas de integración numérica para el cálculo de
cuando
b−1≠0 , se debe obtener primero una estimación del valor dedenominado calcular luego y utilizar (26) paras calcular .

Se debe entonces predecir primero el valor de yn+1 utilizando una fórmula de integración directa y luego corregir el valor predicho con una fórmula de integración implícita, creándose así los métodos del tipo predictor – corrector, los cuales emplean una fórmula directa como predictor y una fórmula implícita comocorrector, ambas con errores por truncamiento del mismo orden.
Método trapezoidal modificado (2º orden)
Uno de los métodos más sencillos del tipo predictor - corrector se obtiene utilizando los métodos de Adams de 2º orden (el de Adams-Bashforth como predictor y el de Adams – Moulton, integración trapezoidal cerrada, como corrector). En su versión más simple el corrector se utilizaría una sola...