metodos newton-rapson

METODO DE NEWTON-RAPSHON
Este método el cula es interativo, es uno de los mas usados y efectivos a diferencia de otros métodos el método de newton-rapshon no trabaja sobre un intervalo si no quebasa su formula en un proceso interativo.
Supongamos que tenemos la aproximación Xi a la raíz de XR de f(X)




Xi+1
X2 Xi
tangente

trazamos la recta tangente a la curva en el punto (Xi,F(Xi)); esta cruza el eje X en un punto Xi+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz XR para calcular el punto Xi+1, calculamos primero la ecuación de la recta tangente sabemos que tienependiente m= f`(Xi).
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente y-f(Xi)=f`(Xi)(X-Xi) hacemos y=0 por lo tanto nos queda la siguiente ecuación –f(Xi)= (X-Xi) despejamos X
X=Xi= f(Xi)/f`(Xi) que es laformula iterativa de newton-rapshon para calcular la siguiente aproximación
Xi+1=Xi-f(xi)/f`(Xi) f`(Xi)= 0
Note el metodo de newton-rapshon no trabaja con intervalos donde nos asegure queencontraremos la raiz y de echo no tenemos ninguna garantia de que nos aproximemos a dicha raiz. Donde luego existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso, se dice que el métododiverge. Sin embargo en los casos donde si converge la raíz lo hace con una rapidez impresionante por lo cual es uno de los métodos preferidos por eexelencia.
También observen que en el caso de quef`(Xi)=0, el método no se puede aplicar. De echo vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje X en ningún punto, a menos que coincidacon el eje de las X cuyo caso Xi mismo es una raíz de f(x)!
Por ejemplo
Encuentre una raíz real de la ecuación f(X)=X³+2X²+10X-20 mediante el método de newton-rapshon, Xo=1 con€= 10-³
Xi+1=X i-Xi³+2Xi²+10Xi-20/3Xi²+2Xi+10
Primera interaccion
1 - 1³+2(1)²+10(1)-20/3(1)²+2(1)+10
=1.41176
Segunda interaccion
1.41176 - 1.41176³+2(1.41176)²+10(1.41176)-20/3(1.41176)²+2(1.41176)+10...