Metodos numéricos matemáticos

METODOS MATEMATICOS

INTRODUCCION 3

OBJETIVOS 4

METODOS MATEMATICO 5

1. METODO DE BOLZANO O BISECCION 5

2. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 11

3. METODO DE LA FALSA POSICION FALSA 15

4. METODO DE LA SECANTE 20

5. METODO DE LA SECCION AUREA 23

INTRODUCCION

Con el propósito de agilizar la resolución con base a la temática de unproblema matemático, se han creado al paso del tiempo métodos numéricos que generan soluciones. Es importante tener presente que los métodos han sido escritos por personajes matemáticos distintos, que han hecho análisis y énfasis en diferentes temas.

Algunos de los más importantes personajes que han hecho su aporte son:

Podemos informarnos de los históricos y quizás de los que dieron el primerpaso, como por ejemplo: PITÁGORAS de SAMOS (580-500 a.C.), GALILEO GALILEI (1564-1642), RENÉ DESCARTES (1596-1650), BLAIS PASCAL (1623 -1662) y muchos mas. Entre los seguidores encontramos a: BERNARD BOLZANO (1781-1848), JOSEPH RAPHSON (1648,1715), GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE MARQUIS L´HOPITAL (1661-1704), entre muchos otros.

Nos informaremos acerca de los métodos de algunos de ellos, lasformulas que implantaron, adicionalmente conociendo su desglose desde donde iniciaron hasta donde llegaron.

OBJETIVOS
Objetivo general.

Conocer los aspectos relevantes de algunos métodos matemáticos, infamándonos acerca de la temática que ataca cada uno.

Objetivos específicos

• Manejar conceptos para la solución de funciones e intervalos
• Incentivar el aprendizaje de algunosmétodos numéricos
METODOS MATEMATICO

METODO DE BOLZANO O BISECCION

Demostración:
Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea T el conjunto formado por todos los valores "x" del intervalo [a, b] para los que f(x) < 0. El conjunto T está acotado superiormente por "b" y, además, no es vacío ya que "a" pertenece a T. Por ello el conjunto T tiene un extremo superior c. Se cumple que f(c) = 0.Veámoslo:
Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de la "conservación del signo de las funciones continuas" existiría un intervalo (c - [pic], c + [pic]) en el que la función sería también positiva. En este caso existirían valores menores que "c" que servirían de cota superior de T y por ello "c" no sería el extremo superior de T como hemos supuesto. Si f(c) < 0, entonces existiría un intervalo (c -[pic], c + [pic]) en el que la función sería negativa y por tanto existirían valores de "x" a la derecha de "c" para los que la función sería negativa y por tanto "c" no sería el extremo superior de T.
Por tanto f(c) tiene que tomar el valor cero: f(c) = 0.
Si f(a) > 0 y f(b) > 0 el razonamiento es similar.
El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
Teorema del ValorIntermedio.
Sea  [pic]  continua en un intervalo  [pic] y supongamos que  [pic]. Entonces para cada  [pic] tal que  [pic], existe  un [pic] tal que  [pic]. La misma conclusión se obtiene para el caso que  [pic].
Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debealcanzar todos los valores intermedios.
En particular, si  [pic]  y  [pic] tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente[pic],  y  por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir  [pic] tal que[pic], es decir, debe haber por lo menos una raíz de  [pic] en el intervalo[pic].
El método de bisección sigue los siguientes pasos:
Sea  [pic] continua:i) Encontrar valores iniciales  [pic],  [pic]  tales que  [pic]  y  [pic]  tienen signos opuestos, es decir,
|[pic] |

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre  [pic]  y  [pic]:
|[pic] |

iii) Evaluar  [pic]. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
| [pic] |

En este caso,  tenemos...