Metodos Numéricos Para Problemas De Valor Inicial

UNIVERSIDAD AUTONOMA
DE NUEVO LEON

FACULTAD DE AGRONOMIA

ECUACIONES DIFERENCIALES


“MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL”



INTRODUCCIÓN

En los casos que no son posibles resolver de forma exacta una ecuación diferencial, se puede plantear la obtención de una aproximación suficientemente buena de la solución. Esta solución, denominada “solución numérica”, sedetermina mediante un método o algoritmo numérico que se ejecutará con la ayuda de una computadora.
Existen una serie de métodos para la obtención de soluciones numéricas de problemas de valor inicial, que pueden aplicarse tanto a ecuaciones escalares como a sistemas de ecuaciones. Dichos métodos forman parte de una de las ramas de las Matemáticas, conocida como Análisis Numérico.
Los algoritmosutilizados en el análisis numérico, son denominados métodos numéricos. Por lo general éstos, se componen de un número de pasos finitos que se ejecutan de manera lógica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la raíz de una ecuación, hasta que se cumple con cierto límite de error. A esta operación cíclica de mejora del valor se le conoce como “iteración”.
El desarrollo del usodel análisis numérico corre en forma paralela al desarrollo tecnológico de la computación. Las computadoras están facultadas para realizar una multitud prácticamente infinita de operaciones algebraicas en intervalos de tiempo muy pequeños, esto las convierte en la herramienta ideal para la aplicación de los métodos numéricos.
El análisis numérico resulta ser la manera natural de resolver modelosmatemáticos a través de la computadora. Por otra parte, como consecuencia directa de la aplicación de soluciones numéricas y del crecimiento de recursos computacionales, se ha logrado también la incorporación de la simulación matemática como una forma de estudio de diversos sistemas. Sin embargo debe haber claridad en el sentido de que el análisis numérico no es el remedio en la solución deproblemas matemáticos.

EL MÉTODO DE EULER

Se fundamenta en una sencilla idea geométrica: aproximar el valor de la solución en cada nodo por el valor que proporciona la recta tangente a la solución trazada desde el nodo anterior.

Comenzamos construyendo la recta tangente a la solución exacta y(x) del problema de valor inicial

en el punto (x0, y0):

Evaluemos ahora dicha recta en el nodo x1 =x0 + h y llamemos y1 al resultado obtenido:

Teniendo en cuenta que y(x) es solución de la ecuación diferencial, podemos sustituir el valor y’ (x0) por f(x0,y(x0)):

Por último, haciendo uso de la condición inicial y teniendo en cuenta que x0 = a, deducimos que

Este es el primer paso del método de Euler.

El valor y1 es la aproximación que proporciona el método de Euler al valor exacto dela solución en x1:

siendo el error cometido

Una vez construido el punto (x1, y1), consideramos el problema de valor inicial

y repetimos el proceso anterior para obtener una aproximación y2 en el nodo x2 = x1 + h. Dicha aproximación tendrá la forma

El proceso anterior se repite hasta llegar al último nodo xN = b, obteniéndose así una serie de valores aproximados

que forman lasolución numérica. Dicha solución dependerá del paso de malla h elegido. Estamos ya en condiciones de definir la forma general del método de Euler:

donde los valores iniciales x0 e y0 vienen dados por la condición inicial del problema. Cada valor yk proporciona una aproximación del valor exacto de la solución en el nodo xk:

siendo el error cometido

El siguiente teorema proporciona un resultadobásico relativo al método de Euler.
Teorema: Supóngase que la función f(x,y) es de clase C1 en [a,b] x IR, y consideremos el problema de valor inicial

Existe entonces una constante C > 0, independiente del paso de malla h, tal que

donde e(h) es el error global cometido al aproximar la única solución del problema de valor inicial mediante el método de Euler con paso de malla h. Como...