Metodos numéricos



MÉTODOS NUMÉRICOS (MÁSTER EN FÍSICA MÉDICA)


TEMA 1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

Solución

1. La máxima concentración ocurre cuando c´(t) = 0

c´(t) = Aexp(-t/3) (1 – t/3) = 0

t = 3 horas

Como la concentración máxima autorizada es de 1mg/ml sustituimos:

1 = A 3 exp (-1) → A = e/3 unidades

2. Enprimer lugar obtenemos la gráfica de la función usando Maple:






Necesitamos encontrar t para que se cumpla :

c(t) = e/3 * t * exp(-t/3) = 0.25

La cantidad0.25 es alcanzada dos veces en la gráfica pero nos interesa la segunda vez

que se alcanza, para un t superior a 3 horas.


Utilizamos el método de Newton con un valor inicial t0 = 4

e/3 *t * exp(-t/3) - 0.25 = 0

tn+1 = tn – ( f(xn)/ f´(xn))

f´(xn) = e/3 * exp (-t/3) ( 1 – t/3)

f´(4) = e/3 * exp (-4/3) ( 1 – 4/3) = -0.07961459

f(4) = e/3 *4* exp (-4/3) – 0.25 = 0.70537508t1 = 4 – ( 0.70537508/ -0.07961459) = 12.85987204

f´(12.85987204) = e/3 * exp (-12.85987204/3) ( 1 – 12.85987204/3) = -0.040951149

f(12.85987204) = e/3 *12.85987204* exp (-12.85987204/3) –0.25 = -0.089766722

t2 = 12.85987204 – (-0.089766722/-0.040951149) = 10.66782798

f´(10.66782798) = e/3 * exp (-10.66782798/3) ( 1 –10.66782798/3) = -0.066129929

f(10.66782798) = e/3*10.66782798* exp (-10.66782798/3) – 0.25 = 0.026008816

t3 = 10.66782798 – (0.026008816/-0.066129929) = 11.0611267

Continuando con este proceso vamos obteniendo:

t4 = 11.07787404

t5 = 11.07790351t6 = 11.07790345

t0 (valor inicial)
4
t1
12.85987204
t2
10.66782798
t3
11.0611267
t4
11.07787404
t5
11.07790351
t6
11.07790345


Aproximando al minuto más cercano vemos que laconcentración de 0.25mg/ml se dá

en un t = 11 horas 5 min, ya que 0.07790345 * 60 = 4.674207 min que aproximamos al

minuto más cercano.


3. Tenemos que encontrar t para que se cumpla:...