Metodos Numéricos

er orden :
Ecuaciones diferenciales de 1er

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una expresión
del siguiente tipo:

y'  f ( x, y)
El problema que se suele presentar es el decalcular una función y =
f(x) tal que verifique la ecuación anterior con una condición de
contorno: y(x0) = y0.

Johan Mauricio Lopez Giraldo – Hugo Fernando Trejos S.

Método de Runge-Kutta
Los llamadosmétodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos para
calcular aproximaciones númericas del valor de la solución de:

dy
 f ( x, y)   ;    y( x 0 ) y0
dx

en puntos de la forma siguiente:

x1 x 0 h  ;  x2 x1  h  ;   etc
Con muy buena precisión, sin que, para ello, sea necesario que los h
sean muy pequeños.
El procedimiento consta de los siguientes pasos:

Para calcular un valor aproximadode la solución y1 en el punto x1 = x0
+ h, se
calculan los siguientes números:

k1 h   f (x 0 , y0 )
h
k1
k 2 h   f ( x0  , y0  )
2
2
h
k2
k3 h   f ( x 0  , y0 
)
2
2
k 4 h   f ( x0  h, y0 k3 )
1
K0  ( k1  2k 2  2k 3  k4 )
6
y entonces se toma:

y1  y0  K 0

Procediendo del mismo modo, calcularíamos el valor aproximado de la
solución,
y2, en el punto x2 = x1 + h:

k1 h   f (x1 ,y1 )
h
k 2 h   f ( x1  , y1 
2
h
k3 h   f ( x1  , y1 
2

k1
)
2
k2
)
2

k 4 h   f ( x1  h, y1  k3 )
1
K0  ( k1  2k 2  2k 3  k4 )
6
y2 y1  K0

Y así, sucesivamente, para el puntoenésimo, tendríamos xn = xn-1 + h:

k1 h   f (x n 1 , yn 1 )
h
k 2 h   f ( xn 1  , yn 1 
2
h
k3 h   f ( x n 1  , y n 1 
2

k1
)
2
k2
)
2

k 4 h   f ( xn 1  h, yn 1  k3 )
1
K0  ( k1  2k 2 2k 3  k4 )
6
yn yn 1  K0

Utilizar el método de Runge-Kutta con el siguiente
ejemplo para calcular la solución aproximada en x =
0.2 y x =0.4:

dy
2 x  y    ;   y(0) 1
dx
h = 0.2:

x1 x 0  h0  0.2 0.2

k1 h   f (x 0 , y0 ) 0.2  (2 0  1) 0.2
h
k1
k 2 h   f ( x0  , y0  ) 0.2   f (0  0.1,   1  0.1)
2
2
k 2 0.2  2 0.1  1.1 0.26
h
k2
k3 h   f ( x 0  , y0 
) 0.2...