Metodos numericoa para edo
Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuación es [pic], entonces puede despejarse [pic] ó bien sumar [pic] en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
Ejemplos:
1) La ecuación [pic] se puede transformar en [pic].
2) La ecuación [pic] se puede transformar en [pic] .
Dada la aproximación [pic], lasiguiente iteración se calcula con la fórmula:
Supongamos que la raíz verdadera es , es decir,
Restando las últimas ecuaciones obtenemos:
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si [pic] es contínua en [pic] y diferenciable en [pic] entonces existe [pic] tal que [pic].
En nuestro caso, existe [pic] en el intervalo determinado por [pic] y [pic] tal que:
De aquítenemos que:
[pic]
O bien,
Tomando valor absoluto en ambos lados,
[pic]
Observe que el término [pic] es precisamente el error absoluto en la [pic] ésima iteración, mientras que el término [pic] corresponde al error absoluto en la [pic] ésima iteración.
Por lo tanto, solamente si [pic], entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si [pic] para [pic] en un intervalo [pic] que contiene a la raíz y donde [pic] es contínua y diferenciable, pero diverge si [pic] en dicho intervalo.
Analicemos nuestros ejemplos anteriores:
En el ejemplo 1, [pic] y claramente se cumple la condición de que [pic]. Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
En elejemplo 2, [pic] y en este caso, [pic]. Por lo tanto, el método no converge a la raíz.
Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:
Ejemplo 1
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de [pic], comenzando con [pic] y hasta que [pic].
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,Con un error aproximado de [pic]
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
[pic]
Y un error aproximado de [pic].
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:
Con un error aproximado igual al [pic].
Ejemplo 2
Usar el métodode iteración del punto fijo para aproximar la raíz de [pic], comenzando con [pic] y hasta que [pic].
Solución
Si despejamos la [pic] del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
[pic]
de donde,
[pic]
En este caso, tenemos que [pic]. Un vistazo a la gráfica,
| |[pic] |[pic] |
nosconvence que [pic], para [pic], lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
[pic]
Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
[pic]
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimoslos resultados en la siguiente tabla:
|Aprox. a la raíz |Error aprox. |
|0 | |
|-0.2 |100% |
|-0.1557461506 |28.41% |
|-0.1663039075 |6.34% |
|-0.163826372 |1.51%|
|-0.164410064 |0.35% |
De donde vemos que la aproximación buscada es:
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
Teorema del Valor Intermedio
Sea [pic] contínua en un intervalo [pic] y supongamos que [pic]. Entonces para cada [pic] tal que [pic], existe un [pic] tal que [pic]. La...
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