Metodos Numericos 3006907 Tal

METODOS NUMERICOS 3006907
TALLER 6, SEMESTRE 02–2014
Tema: Interpolaci´on Polinomial
Se recomienda realizar los ejercicios propuestos en el texto gu´ıa, en particular los siguientes:
Secci´on 3.1: 1–10, 17–19, 22; secci´on 3.3: 1, 2, 7, 8, 10, 11.
1. Demuestre que el polinomio que interpola los siguientes datos es de grado 3
−2
1

x
f (x)

−1
4

0
11

1
16

2
13

3
−4

2. Los datos siguientes sontomados de un polinomio de grado ≤ 5. Cu´al es el grado del polinomio?
x
p(x)

-2
-5

-1
1

0
1

1
1

2
7

3
25

3. Determine el valor de α
−2
−1

x
f (x)

−1
3

1
2

α

1
−1

1
−1

3
23

si se sabe que P3 (0) = 1.
4. Sea P3 (x) el polinomio interpolante de la tabla
xj
yj

− 32
b

0
−1

Determine b sabiendo que el coeficiente de x3 en P3 (x) es

11
.
6

5. La tabla de diferencias divididas parael polinomio interpolante de una funci´on f (x) definida en [0, 0.7] est´a dada por
x0 = 0
x1 = 0.4
x2 = 0.7

f [x0 ]
f [x1 ]
f [x2 ] = 6

f [x0 , x1 ]
f [x1 , x2 ] = 10

f [x0 , x1 , x2 ] =

50
7

Encuentre f [x0 ] , f [x1 ] y f [x0 , x1 ].
6. Complete la siguiente tabla de diferencias divididas obtenida a partir de los valores de una funci´on f en los nodos
−2, −1, 0, 1 y 2:
xk
x0 = −2
x1 = −1
x2= 0
x3 = 1
x4 = 2

f [xk ]
f [x0 ]
−1
f [x2 ]
1
5

f [xk−1 , xk ]

f [xk−2 , xk−1 , xk ]

f [xk−3 , xk−2 , xk−1 , xk ]

f [xk−4 , xk−3 , xk−2 , xk−1 , xk ]

−2
0
2
4

1
f [x1 , x2 , x3 ]
1

f [x0 x1 , x2 , x3 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]

f [x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]

Utilice esta tabla para construir polinomios interpolantes para f (x) en:
a. x = −1, 0, 1.

b. x = −1, 0, 1, 2.

7. Considere lafunci´on f (x) =

c. x = −1, 0, 1, 2, 3.

x3 + sen (x)
y los nodos x0 = −3.5, x1 = −2.8, x2 = −1.1, x3 = 2.4, x4 = 5.1. Encontrar:
ex + 15

(a) El polinomio interpolante para f usando todos los nodos.
(b) El valor de f [−2.8, −1.1, 2.4].
8. Considere la funci´on f (x) =

d. x = 0, 1.

(c) El valor aproximado de f (7.8).
(d) El error relativo cometido al aproximar f (7.8) por
medio del polinomiointerpolante hallado en a.

cos (x)
y los nodos x0 = −3.8, x1 = −1.8, x2 = 1.1, x3 = 2.4, x4 = 5.1. Encontrar:
ln (ex + 15)

(c) El valor aproximado de f (−7.6).

(a) El polinomio interpolante para f usando todos los nodos.

(d) El error relativo cometido al aproximar f (−7.6) por
medio del polinomio interpolante hallado en a.

(b) El valor de f [1.1, 2.4, 5.1].
9. Considere la nube de puntos dada en lasiguiente tabla:
−3
12

x
f (x)

−2.8
1.3

−2
14

−0.8
1.8

2.1
5

3.5
−2.3

4.8
−6.3

Calcular:
(a) La diferencia dividida f [2.1, 3.5, 4.8].
(b) El coeficiente de L3 (x) que acompa˜na a x4 .

(c) El n´umero de raices que tiene el polinomio interpolante
en [−3, 4.8].

10. Considere los siguientes datos
t
y (t)

−4
−3700

−3
−500

(a) El polinomio que interpola estos datos.
2.3
1000

3.5
−18003.75
2800

(b) El valor aproximado de y (1.87).
(c) El coeficiente polin´omico de Lagrange L2 (x).

Halle:

11. Se llevan a cabo unos experimentos y se determinan los valores de capacidad calor´ıfica a diferentes temperaturas para un
metal
Temperatura, T
−50
−20
10
70
100
120
Capacidad, C 0.125 0.128 0.034 0.144 0.15 0.155
Utilice todos los puntos para hallar el polinomio interpolante que permiteaproximar la capacidad calor´ıfica para cualquier
temperatura.

xi
yi

0
1

1
2

2
1

3
2

4
1

5
2

Para el polinomio interpolante p(x) de los datos en la tabla
determine p(5) (x). (Aqu´ı p(5) (x) representa la 5-´esima
derivada de p(x).)

xi
yi

0
1

1
0

2
0

3
0

4
2

5
0

Para el polinomio interpolante q(x) de los datos en la tabla,
determine las ra´ıces de la ecuaci´on q(x) = 0, diferentes delo
obvios (es decir, diferentes de 1, 2, 3 y 5).

12.

13.

´ - MATLAB
PROGRAMACION
14. Considere la funci´on f (x) = 10

ln(x2 +3)
x2

sen (5x) para x ∈ [1, 8].

(a) Aproximar la funci´on por medio de polinomios interpolantes P2 (x) , P3 (x) , P4 (x) y P5 (x) empleando nodos equidistantes.
(b) Graficar f (x) vs Pi (x) para i = 2, ..., 5.
(c) Graficar errores, es decir, E (x) = | f (x) − Pi (x)|...