Metodos Numericos Aplicados
Páginas: 4 (779 palabras)
Publicado: 24 de octubre de 2012
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
METODO DE JACOBI
INTRODUCCION AL METODO
Una matriz A de orden n, por lo tanto tendrá n autovalores y por ende n autovectores que no necesariamente deberán ser distintos,pues son las raíces del polinomio característico de grado n:
p(λ)=det(A-λ*I)
Así pues, formalmente, los autovalores de la matriz A se pueden obtener encontrando las n raíces de p(λ). Esto de lospuede realizar siempre y cuando se trate de matrices o bien de pequeño tamaño o bien de formas particulares. Siendo muchas de las ocasiones, demasiado complicada la obtención del polinomio, e inclusosi lo obtenemos, la determinación de las raíces de un polinomio n-esimo es también un problema difícil puesto que no hay formulas explicitas. Es así que consideramos algoritmos que nos permitandeterminar sistemáticamente todos los autovalores de una matriz general de cualquier orden de una manera eficiente, esto es, con el menor número de operaciones posibles y además, dado que operar con grandesmatrices involucra muchas sustracciones aritméticas, tales algoritmos deben ser estables de manera que los resultados numéricos no sean en realidad números aleatorios en lugar de los autovaloresdeseados.
Podemos dividir el problema en dos partes:
1. Reducir la matriz A, a una matriz B, con la mayor cantidad de ceros posibles; pero conservando los mismos autovalores. Generalmente se obtienenmatrices tridiagonales o de Hessenberg.
Generalmente las matrices que obtenemos como resultado de aplicar estos procesos de reducción son Tridiagonales o de Hessenberg:xx00000xxx00000xxx00000xxx00000xxx00000xxx00000xx xxxxxxxxxxxxxx0xxxxxx00xxxxx000xxxx0000xxx00000xx
Los métodos para reducir una matriz general a una forma más simple se basan en las transformaciones de similitud osemejanza. Dos matrices A y B del mismo orden n son semejantes si existe una matriz T también de orden n la cual es no singular y además:
B=T-1A T
Esta transformación de similitud tiene la propiedad...
METODO DE JACOBI
INTRODUCCION AL METODO
Una matriz A de orden n, por lo tanto tendrá n autovalores y por ende n autovectores que no necesariamente deberán ser distintos,pues son las raíces del polinomio característico de grado n:
p(λ)=det(A-λ*I)
Así pues, formalmente, los autovalores de la matriz A se pueden obtener encontrando las n raíces de p(λ). Esto de lospuede realizar siempre y cuando se trate de matrices o bien de pequeño tamaño o bien de formas particulares. Siendo muchas de las ocasiones, demasiado complicada la obtención del polinomio, e inclusosi lo obtenemos, la determinación de las raíces de un polinomio n-esimo es también un problema difícil puesto que no hay formulas explicitas. Es así que consideramos algoritmos que nos permitandeterminar sistemáticamente todos los autovalores de una matriz general de cualquier orden de una manera eficiente, esto es, con el menor número de operaciones posibles y además, dado que operar con grandesmatrices involucra muchas sustracciones aritméticas, tales algoritmos deben ser estables de manera que los resultados numéricos no sean en realidad números aleatorios en lugar de los autovaloresdeseados.
Podemos dividir el problema en dos partes:
1. Reducir la matriz A, a una matriz B, con la mayor cantidad de ceros posibles; pero conservando los mismos autovalores. Generalmente se obtienenmatrices tridiagonales o de Hessenberg.
Generalmente las matrices que obtenemos como resultado de aplicar estos procesos de reducción son Tridiagonales o de Hessenberg:xx00000xxx00000xxx00000xxx00000xxx00000xxx00000xx xxxxxxxxxxxxxx0xxxxxx00xxxxx000xxxx0000xxx00000xx
Los métodos para reducir una matriz general a una forma más simple se basan en las transformaciones de similitud osemejanza. Dos matrices A y B del mismo orden n son semejantes si existe una matriz T también de orden n la cual es no singular y además:
B=T-1A T
Esta transformación de similitud tiene la propiedad...
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