metodos numericos en ingenieria

Métodos Numéricos Curso SAI Tema 2. Raíces de Ecuaciones No Lineales.

Tema2
2.
2.1.

Raíces de Ecuaciones No Lineales

Introducción.
En la práctica de la ingeniería y ciencias, es muy frecuente él tener que resolver ecuaciones del
tipo f(x)=0. En estas ecuaciones se requiere conocer el valor ó valores que hacen cero la
ecuación. El procedimiento común a seguir es intentar despejar lavariable x.
Desafortunadamente, en la mayoría de los casos prácticos esto es virtualmente imposible. Sin
embargo, la solución existe y debe ser encontrada. En este capitulo veremos como lograr esto.

2.2.

Definiciones y teoremas básicos
Los valores que hacen que una función y=f(x) sea 0, se conocen con el nombre de raíces ó
ceros de la ecuación. El problema de hallar estos ceros tambiénrecibe los nombres de:
búsqueda de raíces, búsqueda de ceros, resolución de ecuaciones, resolución de ecuaciones no
lineales, solución de ecuaciones no lineales. Para resolver ecuaciones de este tipo existen 3
tipos de métodos:

•
•
•

Métodos Analíticos.
Métodos Gráficos.
Métodos numéricos.

2.2.1. Métodos Analíticos
Estos consisten esencialmente en despejar la variable x en funciónde y. Un ejemplo bastante
conocido, es el de la ecuación cuadrática.1 En la mayoría de los casos prácticos, esto es muy
difícil o imposible. Por ejemplo, piensa unos minutos en como despejarías x de la siguiente
ecuación:

ex + x3 = 0
2.2.2. Métodos Gráficos
En estos métodos lo que se busca es trazar la gráfica de y=f(x). Los puntos donde se corte el eje
de las x serán las raíces. Estosmétodos aunque muy generales, tienen sus inconvenientes:
• La gráfica puede ser difícil de elaborar.
• Es posible que las raíces estén ubicadas fuera del intervalo gráficado.
• Los valores obtenidos no son muy precisos.2
1

Se resuelve por la conocida formula general o del chicharronero.
¿ Por qué ?

2

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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 2. Raíces de Ecuaciones No Lineales.Por estas razones no son muy recomendables, más que para hallar valores aproximados.

2.2.3. Métodos numéricos
Los métodos numéricos como se comentó en el capítulo anterior, generan una sucesión de
valores, que se aproxima a la solución, en este caso a la raíz. Estos métodos son más generales
que los analíticos y mucho más precisos que los métodos gráficos. Por estas razones se emplean
másampliamente.
Para usar estos métodos, dado que no requieren de trazar la gráfica, requerimos conocer de
alguna manera por donde la función tiene raíces. Para lograr esto se emplea el siguiente
teorema.
2.2.3.1. Teorema del cambio de signo (TCS)
Si en un intervalo cerrado [a,b], la función f(x) es continua y además f(a) tiene signo opuesto al
de f(b), es decir, existe un cambio de signo (CS),entonces por lo menos existe una raíz en [a,b].
El teorema solo nos es útil cuando se cumple, ya que en los casos en que no se cumple no
podremos asegurar que pasa. Por ejemplo es posible que existan raíces, aun cuando el teorema
no se cumpla. También es posible que exista más de una raíz, cuando se cumple el teorema.
Esto se muestra de la figura 1 a la 4.

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Métodos NuméricosCurso SAI Tema 2. Raíces de Ecuaciones No Lineales.

En la figura 1, se puede observar directamente el teorema. En la figura 2 se ve un caso donde el
teorema no se cumple y no existen raíces. La figura 3 muestra un caso donde el teorema se
cumple y existe más de una raíz. La figura 4, es un ejemplo donde el teorema no se cumple y
sin embargo si hay raíces.
El problema de resolver unaecuación no lineal es muy antiguo. Por esta razón existe una gran
cantidad de métodos. Inclusive todavía hoy en día se siguen buscando métodos nuevos. A
continuación se expondrán los métodos más comunes.
2.3.

Método de Bisección
Este método es de los más antiguos. También se le denomina método de Bolzano, quien fue el
primero en proponerlo. Para poder aplicarlo se requieren las siguientes...