Metodos numericos errores de redondeo y estabilidad

CAPÍTULO 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD
INTRODUCCIÓN Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. A continuación consideramos algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente, para loscuales estudiaremos técnicas numéricas de solución. Problema 1.1 Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de y = 2sen x , y = e − x con x ∈[0,π] . ♦

Problema 1.2 Encontrar las raíces de la ecuación polinómica

x5 + 11x4 − 21x3 − 10 x2 − 21x − 5 = 0 ♦
Problema 1.3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) El sistema lineal AX = b con  2 −1 0   −1 2 −1 A =  0−1 2   0 0 −1   0 0 0 b) El sistema no-lineal  x2 + xy 3 = 9   2  3x y − y3 = 4  0 0 −1 2 −1 0  0 0  −1  2  3    −2 b =  2    −2    1

♦

Problema 1.4 Dada la siguiente tabla de datos correspondiente a una cierta función y = f (x) , xk

f (xk )

−2 −5

−1
1

0 1 TABLA 1.1

1 1

2 7

3 25

encontrar el polinomio de menor grado que pase a travésde los puntos dados. . . Cuál será una estimación para los valores f (x) correspondientes a x = −15 y x = 15 ? ♦ Problema 1.5 Hallar el valor de cada una de las siguientes integrales:

2 MÉTODOS NUMÉRICOS ____________________________________________________________

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a)

∫
0

1

sen x dx x

b)

∫e
0 3

1

x2

dx

c)

∫
0

π 2

sen 2 x dx 1−4

(elíptica)

d)

∫ ln xdx
2

1

♦

Problema 1.6 Resolver el problema de valor inicial  d2 θ dθ + 16 sen θ = 0  2 +  dt dt  θ 0 = π , θ ′ 0 = 0 ()  ( ) 4 

♦

En relación con los problemas anteriores, tenemos que: En el problema 1.1, es necesario determinar los puntos de intersección de las gráficas de y = 2sen x y y = e − x , para lo cual debemos resolver la ecuación2sen x = e − x y no disponemos de un método algebraico para hacerlo. En el problema 1.2, se trata de hallar los ceros de un polinomio de grado 5 y, como sabemos, sólo se conocen métodos algebraicos para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas de grado menor o igual que 4. En el problema 1.3, tenemos dos sistemas de ecuaciones: El de la parte a) es lineal y conocemos métodos de solución (porejemplo, el método de eliminación Gaussiana), sin embargo, para sistemas de tamaño mayor, no sólo es conveniente sino necesario implementar tales métodos a través del computador (método numérico). En la parte b) tenemos un sistema no-lineal y no conocemos métodos algebraicos generales para resolverlo. El problema 1.4 se puede resolver analíticamente (por interpolación), sin embargo para determinar loscoeficientes de dichos polinomios existen técnicas que permiten encontrarlos rápidamente y que pueden implementarse en el computador. El problema 1.5, corresponde a integrales definidas cuyo integrando tiene antiderivada que no es elemental. Finalmente, en el problema 1.6, la ecuación diferencial ordinaria d2 θ dt
2

+

dθ + 16 sen θ = 0 (ecuación de movimiento de un péndulo) dt

esno-lineal (por la presencia de senθ ) y no disponemos de un método analítico para resolverla.

Capítulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD 3 ____________________________________________________________

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Los problemas anteriores sirven como motivación para el estudio de cinco grandes temas en un primer curso de métodos numéricos: solución numérica de una ecuación no-linealen una variable, solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales y no-lineales, interpolación polinomial, integración numérica y solución numérica de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias. Qué es un método numérico? Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando...