Metodos Numericos Raices De Ecuaciones

METODOS NUMERICOS
TRABAJO NO.3
Implementar funciones para hallar los ceros
* Método grafico (como fue indicado en clases)
Codificación



EJEMPLO

* Bisección
ANALISIS
El método de Bisección o método de búsqueda binaria, el cual es iterativo consiste en:
Supongamos que tenemos una función continua f, definida en el intervalo [a, b], con f(a)*f(b) < 0.
Entonces por elTeorema del Valor Intermedio, existe c, donde a < c < b, tal que f(c)=0. Aunque el procedimiento sirve para el caso en el que f(a) y f(b) tienen signos opuestos y hay más de una raíz en el intervalo, por simplicidad se supondrá que la raíz en este intervalo es única.

El método requiere dividir repetidamente a la mitad los subintervalos [ai, bi] y, en cada paso, localizar el segmento quecontiene a ci. Para empezar se toma a=a1, b=b1, y el punto medio de [a1, b1];
ci= a+(a - b)/ 2
Si f(ci) = 0, entonces c = c1; en caso contrario, f(c) debe tener el mismo signo que f(a) o f(b).
Si f(c) * f(a) > 0, entonces la raíz c se encuentra en el intervalo [c1, b1], y tomamos a=c1 y b=b1
Si f(c) * f(b) > 0, entonces la raíz c se encuentra en el intervalo [a1, c1], y tomamos a=a1 yb=c1.

DIAGRAMA DE FLUJO

Codificación

EJEMPLO

* Falsa posición
ANALISIS
El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1 tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación,x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos   .
La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.

DIAGRAMA DE FLUJO

* Secante
ANALISIS
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el métodode Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:  
Sustituyendo esta expresión en la ecuación  , obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:

En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo conla ecuación anterior.
DIAGRAMA DE FLUJO
CODIFICACIÓN

* Newton Rapson
ANALISIS
Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
 

El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contieneal punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas.
La ecuación de la recta que pasa por el punto (x0,f(x0)) y de pendiente f'(x0) es:
y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)
De donde, haciendo y=0 y despejando x obtenemos la ecuación deNewton-Raphson

DIAGRAMA DE FLUJO

CODIFICACION.-

Ejemplo y= (4x-7)/(x-2) Esta función tiene un cero en X=1.75
Usando las siguientes aproximaciones obtenemos los siguientes resultados.
METODO DE NEWTON RAPSON |   |
x0 | tol | n | x | error% |   |
1,625 | 1E-05 | 2 | 1,7656250 | 0,00893 | % |
  |   | 3 | 1,7509765 | 0,00056 | % |
  |   | 4 | 1,7500038 | 0,00000 | % |
  |   | 5 | 1,7500000| 0,00000 | % |
1,875 |   | 2 | 1,7656250 | 0,00893 | % |
  |   | 3 | 1,7509765 | 0,00056 | % |
  |   | 4 | 1,7500038 | 0,00000 | % |
  |   | 5 | 1,7500000 | 0,00000 | % |
1.5 |   | 1 | 2 | 0,14286 | % |
  |   | 2 | El método no puede continuar |   |   |
3 |   | 2 | x es demasiado grande |   |
  |   | 4 | x es demasiado grande |   |

Conclusión.-En la aplicación de este método...