Metodos Numericos Unidad 5

AGRADECIMIENTOS
Le agradecemos primero a Dios por haber permitido llegar hasta donde hoy, a nuestra familia por apoyarnos en todo momento, a nuestros amigos, a los maestros en especial al profesor que nos imparte la materia de métodos el profr Juan Belisario Ibarra de la Garza.

















INDICE
5.1 Métodos de unPaso………………………………………………………………………..1
5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado…………………………………………………….2
5.1.2 Método de Ruge-Kutta…………………………………………………………………...7
5.2 Método de Pasos Múltiples…………………………………………………………….…..8
5.3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias……………………………………...21
5.4 Aplicaciones…………………………………………………………………………………24













UNIDAD 5.-SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
5.1Métodos de un paso
En esta unidad se dirigirá a la resolución de ecuaciones diferenciales de la forma


El método fue de la forma general


O

De acuerdo con esta ecuación, la pendiente estimada delta se usa para extrapolar desde un valor anterior  Yi a un nuevo valor Yi+1 en una distancia h.
Esta formula se puede aplicar paso a paso para calcular el valor en el futuro y, por tanto, trazar latrayectoria de la solución.
 

Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma general. Como en el problema del paracaidista en caída, el procedimiento más simple es usar la ecuación diferencial para estimar la pendiente derivada en Xi al inicio del intervalo.
En otras palabras, la pendiente al inicio del intervalo es tomada como una aproximación de la pendiente promedio sobretodo el intervalo.
Este procedimiento se le llama método de Euler. Después continuamos con otros métodos de un paso que cumplen estimaciones de pendiente en forma alterna, y cuyas resultantes serán predicciones mas exactas.
Todas estas técnicas se conocen como métodos de Runge-Kutta

5.1.1 Método de Euler y Euler mejorado.
Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de unaecuación diferencial es el método de Euler, o de las rectas tangentes.

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en


Donde    es la ecuación diferencial evaluada en  y  . Tal estimacion podra sustituirse ne la ecuación:

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio). Se predice un nuevo valor de por medio de la pendiente(igual a la primera derivada en el valor original de x) que habrá de extrapolarse en la forma lineal sobre el tamaño de paso h.
Análisis de error para el método de Euler.
La solución numérica de los EDO involucra dos tipos de error:

1.- Errores de truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
2.- Errores de redondeo, queson el resultado del número limite de cifras significativas que puede retener una computadora.
Los errores de truncamiento se componen de dos partes.
La primera es un error de truncamiento local que resulta de una aplicación del método en cuestión sobre un paso sencillo.
La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos.
Lasuma de los dos es el total, o error de truncamiento global.
Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuación diferencial sujeta a integración será de la forma general:

Donde y x y y  son las variables independiente ydependiente, respectivamente. Si la solución tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansión de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio  cómo:




Donde  termino remanente, definido como:


Donde E esta en algún lugar en el intervalo de   a  . Es posible desarrollar una forma alternativa al sustituir la ecuación en las ecuaciones para obtener:...