metodos numericos unidad II

Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos



Nombre del Alumno: ARIAS GAMAS GERMAN
Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)Semestre:______4___________ Grupo: ______A_________



Nombre del Docente: De la Cruz Tadeo Nila Calendaría
Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)




Fecha de entrega del Reporte


INTRODUCCIÓN: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

Uno de los problemas más frecuentes en ingeniería es encontrarlas raíces (es U decir, hallar la solución) de la ecuación de la forma f(x)=0, en donde f(x) es una función real de una variable x, en un polinomio, por ejemplo: f(x)=4x5+x3-8x+2, o una función trascendental (es decir, que contenga ya sea términos trigonométricos, exponenciales o logarítmicos, o bien una combinación de estos), por ejemplo: f(x)= ex sen (x)+ln(3x)+x3, donde las técnicasalgebraicas clásicas de “despejar” la incógnita no son aplicables o bien resulten imprácticas.

Existen distintos algoritmos (conjunto de operaciones que permiten hallar la solución de un problema) para encontrar las raíces o ceros de f(x)=0, pero ninguna es general, es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas las ecuaciones.

Debe mencionarse que solo en muy pocos casos será posible obtenerlas raíces exactas de f(x)=0 (por ejemplo cuando f(x) sea un polinomio factoriales), sin embargo se pueden obtener raíces aproximadas al utilizar los métodos numéricos.

























2.1 MÉTODOS DE INTERVALOS
 
Los métodos de los intervalos utilizan una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones deuna raíz.

Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.
 

 
En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos, que se verán más adelante estono ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar en la raíz (punto c), pero es necesario entonces establecer un intervalo (como el [a, b]).
De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d, f].
Losmétodos de Intervalos que se verán en la cátedra son:
a. Método Gráfico
b. Método de Bisección





2.2 MÉTODO DE BISECCIÓN

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua f es un intervalo cerrado [a,b]. Toma todos los valores que sehallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.

El métodoconsiste en lo siguiente: de antemano, debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a, b]. A continuación se verifica que. Se calcula el punto medio m del intervalo [a, b] y se evalúa f (m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si f (m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b). Se redefine el...