metodos numericos utp


Universidad Tecnológica de Panamá



Facultad de Ingeniería Industrial




Carrera:
Lic. en Ingeniería Industrial



Asignatura:
Métodos Numéricos



Investigación #2



Integrantes:
Daniela Andrea Sosa (20-14-2344)



Presentadoa:
Emir Salazar



Tercer Semestre





Fecha de entrega:
Jueves 29 de Mayo de 2014


Índice

Introducción
I. Interpolación de Newton
1.1 Concepto
1.2 Algoritmo
1.3 Ejemplo de un problema
II. Método de regresión de mínimos cuadrados
II.1 Concepto
2.2 Algoritmo
2.3 Ejemplo de un problema
Conclusión
BibliografíaIntroducción

Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado experimento en el que se relacionan dos o másvariables e involucran valores de una función y sus derivadas. El objetivo será determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes.






























I. Interpolación de Newton

I.1 Concepto

La interpolaciónde Newton se aplica a procesos, cuyos intervalos de la variable independiente son  simétricos, es decir la longitud del intervalo entre cada medición es la misma. Este tipo de interpolación es muy útil cuando el experimento es diseñado y controlado por el experimentador.

I.2 Algoritmo

El polinomio de interpolación de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguienteforma:

Pn(x)=c0 +c1(x−x0)+c2(x−x0)(x−x1)+···+cn(x−x0)···(x−xn−1)

donde los coeficientes ck, k = 0, . . . , n se determinan al cumplir con las restricciones Pn(xi) = yi, i = 0, . . . , n. Los coeficientes ck se pueden calcular en términos de:

Diferencias finitas hacia adelante
Diferencias finitas hacia atrás
Diferencias finitas centradas
Diferencias divididas

Diferencias Haciadelante

Considere el conjunto de valores (xi , yi ), i = 0, . . . , n. Los valores yi se obtienen de evaluar una función f (xi ). Las diferencias se definen como:
Δyi =yi+1 −yi, i=0,...,n−1
Estas diferencias reciben el nombre de diferencias de primer orden de f(x) sobre el intervalo (x0,xn). Ahora podemos definir las diferencias de las diferencias de primer orden, esto es, diferencias desegundo orden, como:

Δ2yi = Δ(Δyi) = Δyi+1 − Δyi, i = 0,...,n − 2
En general, para diferencias de orden k-ésimo, se tiene:
Δkyi =Δk−1yi+1 −Δk−1yi, i=0,...,n−k
En general, se puede probar que
Δky0 =yk − k1 yk−1 + k2 yk−2 −···+(−1)ky0





Diferencias divididas

Dados datos:
 

 
El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:
 
 
donde : 
Para calcular los coeficientes , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :
 

I.3 Ejemplo de un problema
Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.
Solución
Procedemos como sigue:Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :



II. Método de regresión de mínimos cuadrados

II.1 Concepto

Fue Francis Galton (1822-1911) quien utilizó por primera vez el término regresión para indicar que, aunque influida por la estatura de sus padres, la estatura de los hijos "regresaba" a la media general. La regresión examina la relación entre dos variables, pero...