Metodos numericos

A Dios, que me ha acompañado a lo largo de mi vida, quien me guía y me protege de todas las cosas malas, por darme salud, fuerza y serenidad

INTRODUCCION
El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en variasdimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones. En este artículo nos referiremos con el término "spline" a su versión restringida en una dimensión y polinomial, que es la más comúnmente utilizada. En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva definida enporciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizanpara aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador

INTERPOLACIÓN SPLINE
Muy frecuentemente se dispone de una gran cantidad de datos relativos a una función, conocida o no, que se desea aproximar. Lastécnicas de interpolación polinómica dan lugar en general a interpolantes que presentan grandes oscilaciones. La interpolación spline desempeña un papel fundamental en el tratamiento de este tipo de problemas. En lo que sigue, nos centraremos principalmente en la interpolación spline cúbica, aunque trataremos primero brevemente la lineal y la cuadrática.
INTERPOLACIÓN CON SPLINES DE GRADO UNO
lospolinomios de grado elevado pueden presentar grandes oscilaciones. Ello hace que un polinomio pueda coincidir con una función en muchos puntos y que, aunque dos de ellos estén muy próximos, en puntos entre estos dos el valor del polinomio diste mucho del de la función. Incluso es posible que la distancia tienda a infinito cuando el grado del polinomio crece (el ejemplo de Runge es una buenailustración).
Por el contrario para los polinomios de grado bajo no se dan tales oscilaciones; basta pensar en las gráficas de las rectas, las parábolas o las cúbicas, por citar los de grado más bajo, que son los de mayor interés en la construcción de las funciones spline polinómicas. La idea de este tipo de funciones es hacer posible la construcción de espacios de funciones suficientemente suavesfácilmente manejables. Los más utilizados son los construidos, hablando en términos gráficos, a partir de funciones polinómicas a trozos de grado bajo que presentan cierta regularidad. Un ejemplo sencillo es el de una función cuya gráfica la forman rectas a trozos, es decir segmentos, sobre una partición
a = x1 < x2 < ··· < xn = b
del intervalo [a, b], de tal manera que el extremo final de unsegmento coincide con el principio del siguiente. La gráfica que resulta es lo que conocemos como una poligonal. Obsérvese que se trata de una función continua en el intervalo total [a, b], y que al restringirla al intervalo [xi, xi+1], 1 i n - 1, es un polinomio de grado menor o igual que uno; además, estas dos propiedades se mantienen cuando se suman poligonales o se multiplican por escalares.Por tanto las funciones cuyas gráficas son las poligonales asociadas a la partición anterior constituyen un espacio vectorial. Este espacio vectorial es el de las funciones spline de grado uno y nodos xi,..., xn, y se nota por S1 (xi,..., xnn).También se observa de inmediato que si en los nodos x1, . . ., xn se conocen los valores y1, . . ., yn que toma cierta función y se desea construir una...