Metodos numericos

PRACTICA 2

MÉTODOS NUMÉRICOS

Presentado a:
LUIS CASTRILLON

Por:
DIEGO SUAREZ
JUAN GUILLERMO BOTERO

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE ORIENTE
RIONEGRO- ANTIOQUIA
2011

INTRODUCCIÓN

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si se puedendeterminar las raíces de una ecuación también se pueden determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc..

OBJETIVOS

* Desarrollar habilidades en el manejo de algoritmos que permiten hallar las raíces de ecuaciones
* Profundizar en el manejo de programas como Matlab y Excel.
* Comprender en un mayor grado losmétodos cerrados y abiertos para hallar raíces de ecuaciones.
* Poner en práctica lo aprendido en las clases teóricas.

1. METODO AITKEN

Aitken es un método de aceleración de la convergencia. Lleva el nombre de Alexander Aitken, quien introdujo este método en 1926.1 Su forma primitiva era conocida por Kōwa Seki (finales del siglo XVII) y fue encontrado en la rectificación delcírculo, es decir, el cálculo de pi. Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesión que converge linealmente.
Cuando se aplica el método de Aitken a una sucesión obtenida mediante una iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen.

fx=X3+2x2-4x-1=0

1.1 PROCEDIMIENTO MANUAL

1.1.1 Tomamos la semilla (X0) y los resultados de las iteraciones (Xk) obtenidos en punto fijo, ennuestro caso

Semilla | g(x) |
X0 -0,5000 | -0,2105 |
X1 -0,2105 | -0,2285 |
X2 -0,2285 | -0,2270 |
X3 -0,2270 | -0,2271 |
X4 -0,2271 | -0,2271 |
-0,2271 | -0,2271 |

1.1.2 Aplicamos la fórmula:

Xk=Xk-(Xk+1-Xk)2Xk+2-2Xk+1+Xk

X0'=X0-(X0+1-X0)2X0+2-2X0+1+X0

X0'=-0.5-(-0.2105--0.5)2-0.2285-2-0.2105+(-0.5)=-0.2274

X1'=X1-(X1+1-X1)2X1+2-2X1+1+X1X1'=-0.2105-(-0.2285-(-0.2105))2-0.2270-2-0.2285+(-0.2105)=-0.2271

X2'=X2-(X2+1-X2)2X2+2-2X2+1+X2

X2'=-0.2285-(-0.2270-(-0.2285))2-0.2271-2-0.2270+(-0.2285)=-0.2271

Como vemos la iteración 3 es similar a la segunda lo que significa que ya hemos llegado a la raíz.

1.2 PROCEDIMIENTO EN EXCEL

Para realizar el método Aitken en Excel pusimos en la columna A las iteracciones obtenidas en punto fijo, en lasegunda columna en la celda B2 utilizamos la fórmula =A2-(((A3-A2)^2)/(A4-(2*A3)+A2)) y luego arrastramos esta para aplicar esta misma fórmula en las demás celdas hacia abajo.

| A | B |
1 | ITERACCIONES PUNTO FIJO | Aitken |
2 | -0,5000 | -0,2274 |
3 | -0,2105 | -0,2271 |
4 | -0,2285 | -0,2271 |
5 | -0,2270 | -0,2270 |
6 | -0,2271 | 0,0000 |

2. METODO NEWTON RAPHSON

elmétodo de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Este método se basa en el desarrollo de series de potencia de la función f(x)=0,alrededor de un punto Xk:

fx=fXk+f'Xkx-Xk+12!f''Xk(X-Xk)2+…+1n!fnXk(X-Xk)n

Se supone que la primera derivada de la función es diferente de cero, para realizar una aproximación lineal:
fx≈fXk+f'Xk(X-Xk)
La solución se obtiene cuando fx=0
De esta manera,
Xk+1=Xk-f(Xk)f'(Xk)
De esta manera se comienza con una semilla x0 y se genera una sucesión rápidamente convergente.

2.1PROCEDIMIENTO MANUAL

2.1.1 Para este método utilizamos la fórmula

Xk+1=Xk-f(Xk)f'(Xk)

Aplicándola a la función

fx=X3+2x2-4x-1=0

Nos queda

X0=-0.5

X1=X0-x03+2x02-4x0-13x02+4x0-4

X1=-0.5-(-0.5)3+2(-0.5)2-4-0.5-13(-0.5)2+4-0.5-4=-0.3767

X2=X1-x13+2x12-4x1-13x12+4x1-4

X2=-0.3767-(-0.3767)3+2(-0.3767)2-4-0.3767-13(-0.3767)2+4-0.3767-4=-0.2466

X3=X2-x23+2x22-4x2-13x22+4x2-4...