Metodos numericos

Part I

SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEA
1 DEFINICIÓN
Consideremos un sistema en k con m ecuaciones y n inc´ognitas x1, x2,..., xn, de la forma: a11 x1 + a12 x2 + :::::::::: + a1n xn= b1 a21 x1 + a22 x2 + :::::::::: + a2n xn = b2 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: am1 x1 + am2 x2 +:::::::::: + amn xn = bm cuya expresi´on matricial 1 0 1 0 1 es: 0 a11 a12 :::::::: a1n x1 b1 B a21 a22 :::::::: a2n C B x2 C B b2 C B CB C B C B : : :::::::: : CB : C B : C B CB C = B C B : : ::::::: : CB :C B : C B CB C B C @ : : ::::::: : A@ : A @ : A am1 am2 :::::::: amn xn bm y que, por lo tanto, podemos expresar en la siguiente forma reducida A X = b. Este sistema se denomina sistema de ecuacioneslineales.

2
2.1

MÉTODOS DIRECTOS
DETERMINANTE

Si Ax = b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coe…cientes del sistema, x = (x1 ; ::::; xn ) es el vector columna de las incógnitas yb es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así: det(Aj ) xj = det(A) donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A porel vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

2.2

SOLUCIÓN DE GAUSS

El método de Gauss transforma lamatriz de coe…cientes en una matriz triangular superior, aplicando operaciones elementales entre …las. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matrizdiagonal unitaria (aij = 0 para cualquier i 6= j). 1

0 a11 B 0 B B : por eliminación Gausiana B B : B @ : 0

a11 B a21 B B : La matriz ampliada operamos B B : B @ : an1 a12 a22 0 : : 0

0

a12 a22: : : an2

10 1 b1 :::::::: a1n :::::::: a2n C B b2 C CB C :::::::: : CB : C C B C y tenemos ::::::: : CB : C CB C ::::::: : A@ : A bn :::::::: ann a1n a2n : : : 0
1 1

:::::::: ::::::::...