Metodos Numericos

Unidad 4. Aproximación Numérica.

Se trata de predecir valores en base a un vector de datos (xi , yi), si los datos son o fueron obtenidos de manera precisa el tratamiento que se aplica es unaaproximación llamada interpolación lineal o interpolación curvilínea (no lineal). Cuando se trata de un conjunto de datos (xi , yi) inciertos lo que se hace para predecir valores es ajustar la “mejor”línea recta.

Temas:
Aproximación polinomial
• Método de Lagrange
• Método de Newton, diferencias divididas.

Aproximación Funcional
• Método de Mínimos Cuadrados.

Método deLagrange.
Fórmula:
[pic]
en donde, [pic]es el valor a interpolar y, [pic] es el valor interpolado.

Método de Newton.
Diferencias divididas para la interpolación de polinomios.
[pic]
en donde:[pic]

Las evaluaciones de la función puestas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa por lo general como:
[pic]
lasegunda dividida finita, la cual representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa por lo general como:
[pic].

Para la n-ésima diferencia dividida finita:
[pic]

Enla siguiente tabla se puede ver como se obtienen las diferencias divididas finitas y de esa manera obtener los coeficientes b0, b1, b2, etc.

[pic]
|i |xi |yi=f(xi)|[pic] |[pic] |[pic] |
|0 |x0 |f(x0) |f[x1, x0] |f[x2, x1, x0] |f[x3, x2,x1, x0] |
|1 |x1 |f(x1) |f[x2, x1] |f[x3, x2, x1] | |
|2 |x2 |f(x2)|f[x3, x2] | | |
|3 |x3 |f(x3) | | |...