Metodos numericos

Métodos numéricos

15.1. Introducción
En los capítulos anteriores se estudiaron varias técnicas para resolver problemas de electromagnetismo y obtener soluciones en forma cerrada. Una solución en forma cerrada es aquella que adopta la forma de una ecuación algebraica explícita, en la cual es posible sustituir los valores de los parámetros del problema. Algunas de esas soluciones analíticas seobtuvieron suponiendo situaciones ideales. Al deducir la fórmula para calcular la capacitancia de un capacitor (o condensador) de placas paralelas, por ejemplo, dimos por supuesto que el efecto de borde era insignificante y que la distancia de separación entre las placas era muy reducida en comparación con el ancho y largo de éstas. De igual manera, nuestra aplicación de la ecuación de Laplace enel capítulo 6 se restringió a problemas con límites coincidentes con superficies coordenadas. Las soluciones analíticas tienen la ventaja inherente de ser exactas. Asimismo, es fácil observar su comportamiento cuando los parámetros de los problemas varían. No obstante, sólo los problemas de configuración simple toleran soluciones analíticas.
Cuando la complejidad de las fórmulas teóricas vuelvecasi imposible la solución analítica, se recurre a métodos no analíticos: 1. métodos gráficos, 2. experimentales. 3. analógicos y 4. Numéricos. Los tres primeros grupos se utilizan en pocos problemas. En cambio, los métodos numéricos han cobrado importancia y atractivo con la aparición de las veloces computadoras digitales. Las tres técnicas numéricas simples de empleo más común enelectromagnetismo son: 1. el método de momentos, 2. el método de las diferencias finitas y 3. el método del elemento finito. La mayor parte de los problemas electromagnéticos implican ecuaciones diferenciales parciales o ecuaciones integrales. Por lo general, las ecuaciones diferenciales parciales se resuelven con el método de las diferencias finitas o del elemento finito, mientras que las ecuaciones integralesse resuelven con el método de momentos. Aunque los métodos numéricos ofrecen soluciones aproximadas, éstas son suficientemente precisas para los fines de la ingeniería. No se debe tener la impresión de que las técnicas analíticas son obsoletas a causa de los métodos numéricos; más bien se complementan. Como se observará más adelante, todos los métodos numéricos suponen una simplificación analíticaque facilita su aplicación.
El código de Matlab elaborado para implementar en computadora los conceptos tratados en este capítulo ha sido simplificado y se explica por sí solo. Su notación coincide con la del texto en la mayor medida posible, y se define cuando es necesario. La codificación que se propone aquí no es la única factible; un programa de computación puede escribirse de varias maneras.Por tanto, el usuario puede modificarla de acuerdo con sus objetivos.

15.2. Trazado de campos

En la sección 4.9 usamos líneas de campos y superficies equipotenciales para representar un campo electrostático. Sin embargo, las representaciones gráficas de la figura 4.21, relativa a campos electrostáticos, y las figuras 7.8(b) y 7.16, relativas a su vez a campos mag-netostáticos, son simples einsustanciales y de carácter cualitativo. Distribuciones de carga más complicadas hacen necesarias ilustraciones más precisas. En esta sección se presentará una técnica numérica que puede convertirse en un programa de computación interactivo. Esta técnica genera puntos de datos para líneas de campos eléctricos y líneas equipotenciales para configuraciones arbitrarias de fuentes de puntos.Líneas de campos eléctricos y líneas equipotenciales referentes a fuentes de puntos coplanares pueden trazarse con programas simples. En el caso de N cargas puntuales localizadas en los vectores de posición rl5 r2,..., rN, la intensidad de campo eléctrico E y el potencial V en el vector de posición r están dados respectivamente por

* Qk (r - rk) *tí 4tt8 |r- rj3
y
N Q
v = 2...