Metodos numericos

2.2 Métodos abiertos







Método de Newton
Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
 
(29)
 
La expresión anteriorpuede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylortenemos:
 
0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2) 
(30)
 
en donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable ignorar el término O(h2):
 
0 = f(x) + hf'(x) 
(31)
 por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:
 
(32)
 
A partir de la ecuación (32) y teniendo en cuenta que r=x+h es fácil derivar la ecuación (29).
 
 
   
Figure: Interpretacióngeométrica del método de Newton.
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El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, como se puede apreciar del análisis de la figura (6). De hecho, el métodode Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto,f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se obtiene de la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas.
Veamos como podemos obtener la ecuación (29) a partir de lo dicho en elpárrafo anterior. La ecuación de la recta que pasa por el punto (x0,f(x0)) y de pendiente f'(x0) es:
 
y - f(x0) = f'(x0)(x-x0) 
(33)
 
de donde, haciendo y=0 y despejando x obtenemos la ecuaciónde Newton-Raphson (29).
 
 
   
Figure: Dos situaciones en las que el método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el método converge hacia un puntoque no es un cero de la ecuación.
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El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se...