Metodos Numericos

25 de Febrero de 2011

OBJETIVOS

Objetivo General:
Realizar una apropiada inducción al uso del programa, así como explorar las diferentes herramientas utilizadas en Scilab.

Objetivos específicos:
Utilizar las funciones aritméticas y lógicas, necesarias para la solución de funciones por medio de métodos matemáticos con ayuda de las herramientas proporcionadas por Scilab.
Utilizar losmétodos de de “bisección” y de “Newton-Raphson” para encontrar las raíces de ecuaciones no lineales en una sola variable.

INTRODUCCIÓN

La ejecución del ejercicio se desarrolla en un programa llamado SCILAB, que es un herramienta de cálculo numérico, programación y gráficos. Las ventajas de SCILAB nos permiten identificarlo como: una herramienta de fácil uso, disposición para obtenerlo,maneja un lenguaje simple y asimilable, genera gráficos de hasta tres dimensiones, permite realizar operaciones matriciales, polinomios y funciones de transferencia, solución de sistema de ecuaciones lineales y diferenciales, creación y definición de funciones propias.

Los métodos generales de solución de ecuaciones sirven únicamente para hallar raíces reales.

Los métodos presuponen que laecuación f(x) = 0 tiene solución. Antes de aplicar los métodos, se debe estudiar la función, averiguar si tiene raíces, ubicarlas aproximadamente. Hay casos en los que no es posible hacer un análisis previo de la función, por ello se utilizan uno o varios métodos, pero podría no funcionar.

Generalmente los métodos parten de x0, aproximación inicial de x*, a partir del cual se obtiene x1. Apartir de x1 se obtiene x2, después x3, y así sucesivamente se construye la sucesión {xk} con el objetivo, de: lim┬(k→∞)⁡〖x_k=x^* 〗

El proceso anterior es teóricamente infinito, y obtendría la solución después de haber hecho un número infinito de cálculos. En la práctica el proceso se detiene cuando se obtenga una aproximación suficientemente buena de x∗. Esto querría decir que el proceso sedetendría cuando:
|x_k-x^* |≤ES
Por lo tanto: |f(x_k)|≤ES

Hay métodos que parten de un intervalo inicial [a0, b0], dentro del cual se sabe que existe una raíz x*. A partir de él, se construye otro intervalo [a1, b1], contenido en el anterior, en el que también está x* y que es de menor tamaño. De manera análoga se construye [a2, b2], etc. [1]

Método de bisecciones de Bolzano [2]:
Comienza conun intervalo [x1, x2] donde se sabe que existe una raíz de la ecuación, y por lo tanto se debe cumplir que:

f(x1)∙f(x2) < 0.

Este intervalo se divide a la mitad calculando x_nueva=(x_1+x_2)/2

Si f(x1) ・ f(xnueva) < 0 se sabe que una raíz se encuentra en el intervalo (x1, xnueva) y se puede continuar el algoritmo sustituyendo x2 por xnueva. En caso contrario, la raíz debe caer en elintervalo (x2, xnueva) y el algoritmo puede continuarse sustituyendo x1 por xnueva.

Método Newton-Raphson [2]:

El método de Newton-Raphson se debe inicializar en un valor de x cercano a una raíz. El método asume que la función es aproximadamente lineal en ese valor y por lo tanto, toma como una mejor aproximación a la raíz un la intersección de la línea tangente a f(x) y su intersección con eleje x.




Tomando la idea de la condición de convergencia de iteración simple, la condición para
Newton-Raphson es la siguiente





METODOLOGÍA

Para realizar la ejecución de los programas en Scilab, se debe tener en cuenta el siguiente procedimiento:
Se abre el editor de SCILAB
Se grafica la función, para tener una idea del comportamiento de esta.
Se codifica la funcióndel ejercicio y se guarda dando un nombre en .sce, en el editor de SCILAB.
En el método de Newton se codifica y se guarda la derivada de la función del ejercicio, como si fuera una segunda función y también se guarda con un nombre .sce, en el editor de SCILAB.
Se programa el método numérico (métodos pedidos para el ejercicio: método de bisección de Bolzano y método de Newton-Raphson) como...