Metodos Numericos

UNIDAD 2 METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES

2.1 Metodos de intervalo

Métodos de intervalo
En la resolución de ecuaciones no lineales se utilizan, salvo soluciones analíticas simples,
métodos iterativos que generan una sucesión de valores que tienden al valor de la raíz. Los
métodos de intervalo (Bisección, Régula Falsi, etc.) se basan en reducir en cada iteración el
intervalo de búsquedade la solución hasta que se alcanza la precisión deseada. Presentan la
ventaja de acotar no sólo el valor de la función, sino también el intervalo que incluye la raíz.
Para su aplicación es necesario que verifiquen las condiciones del Teorema de Bolzano, esto es,
la función debe ser continua y cambiar de signo en sus extremos.
La instrucción fzero de MATLAB utiliza métodos de intervalo paraencontrar la raíz.
» f=inline(’x.^3-1’);
» options=optimset('Display','iter','TolX',1e-5,'MaxIter',100)
» raiz=fzero(f,2,options)
Ejercicios recomendados:
2. Utilizar la función fzero para obtener las raíces de las siguientes funciones tomando
tolerancias de 10-6.
• f(x)=sen(x)+0.8cos(x) en [2,3]
• f(x)=x2-4x+3.5 –ln(x) en [1,3]
• f(x)=(x-2.1)2-7x cos(x) en [1,2]
VI.

2.2 Metodo debiseccion
Bisección | Software:  | 4Bisección |
| | |

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores que se hallan entre y . Esto es, que todo valor entre y es la imagen de al menos unvalor en el intervalo . En caso de que y tengan signos opuestos ( ), el valor cero sería un valor intermedio entre y , por lo que con certeza existe un en que cumple . De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación . El método consiste en lo siguiente: De antemano debemos estar seguros de la continuidad de la función en el intervalo . Luego verificamos que .Calculamos el punto medio del intervalo . A continuación calculamos . En caso de que sea igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si tiene signo opuesto con o con . Se redefine el intervalo como o según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en unintervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito. En la primera iteración del algoritmo de bisección, es claro que la raíz se halla a una distancia menor o igual que , pues con toda seguridad la raíz se encuentra en alguno de los dos intervalos de tamaño , contiguos al punto medio del intervalo . En la segunda iteración,el nuevo intervalo mide y de nuevo la distancia entre el nuevo punto medio y es menor o igual que . Se forman así tres sucesiones de valores , y , y puede mostrarse fácilmente por inducción que en la n-ésima iteración, al aproximar con se tiene que
De esta forma, si queremos estimar el número de iteraciones necesarias para que, al aproximar la solución de la ecuación mediante el punto medio, elerror de aproximación sea menor que un parámetro , de la desigualdad anterior se concluye que deben hacerse al menos . 1  iteraciones.  Por ejemplo, al aplicar el algoritmo de bisección a una función en el intervalo , si queremos que el error de aproximación sea menor o igual que , el número de iteraciones debe cumplir   |
2.3 Metodo de aproximaciones sucesivas
El método de las aproximacionessucesivas es uno de los procedimientos más importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1.

Poniendo x1 como argumento de j(x),...