Metodos Numericos

1) Un polinomio de variable compleja viene dado por:

El polinomio se puede expresar mediante su parte real y su parte imaginaria haciendo , así:

A partir del teorema fundamental del álgebra se puede concluir que un polinomio de grado tiene exactamente raíces en el campo de los complejos. Las raíces se calculan resolviendo el sistema de ecuaciones no lineales:

Con base en lopresentado, dado el polinomio de tercer grado:

a) Exprese el polinomio mediante su parte real y su parte imaginaria.

Px+jy=2+j3(x+jy)3-j2(x+jy)2+j3x+jy-3-j6

Px+jy = 2x3-6x y2-9x2y+3y3+4xy-3y-3+ j6x2y-2y3+3x3-9xy2-2x2+2y2+3x-6

b) Represente gráficamente el sistema

c) Determine las tres raíces por el método de Newton.

Primera semilla =(0,-2)
numero de iteraciones= 10semilla x= 0
semilla y= -2
entre F(x,y)='2*x^3-9*y*x^2-6*x*y^2+3*y^3+4*x*y-3*y-3'
entre G(x,y)='3*x^3+6*y*x^2-9*x*y^2-2*y^3-2*x^2+2*y^2+3*x-6'

ans =

0 -2.0000
-0.0369 -1.3994
-0.1549 -1.0953
-0.2556 -1.0598
-0.2567 -1.0695
-0.2568 -1.0694
-0.2568 -1.0694
-0.2568 -1.0694
-0.2568 -1.0694
-0.2568 -1.0694
-0.2568 -1.0694Segunda semilla =(-1,2)
numero de iteraciones= 10
semilla x= -1
semilla y= 2
entre F(x,y)='2*x^3-9*y*x^2-6*x*y^2+3*y^3+4*x*y-3*y-3'
entre G(x,y)='3*x^3+6*y*x^2-9*x*y^2-2*y^3-2*x^2+2*y^2+3*x-6'

ans =

-1.0000 2.0000
-0.6715 1.5559
-0.5107 1.3764
-0.4700 1.3471
-0.4679 1.3467
-0.4679 1.3467
-0.4679 1.3467
-0.4679 1.3467
-0.46791.3467
-0.4679 1.3467
-0.4679 1.3467

Tercera semilla =(1,0)
numero de iteraciones= 7
semilla x= 1
semilla y= 0
entre F(x,y)='2*x^3-9*y*x^2-6*x*y^2+3*y^3+4*x*y-3*y-3'
entre G(x,y)='3*x^3+6*y*x^2-9*x*y^2-2*y^3-2*x^2+2*y^2+3*x-6'

ans =

1.0000 0
1.2200 0.0400
1.1870 0.0308
1.1862 0.0304
1.1862 0.0304
1.1862 0.03041.1862 0.0304
1.1862 0.0304

d) Halle las raíces de manera directa usando y compare

roots([2+i*3,-i*2,i*3,-3-i*6])

ans =

-0.4679 + 1.3467i

1.1862 + 0.0304i

-0.2568 - 1.0694i

Newton | roots |
-0.4679 1.3467 | -0.4679 + 1.3467i |
1.1862 0.0304 | 1.1862 + 0.0304i |
-0.2568 -1.0694 | -0.2568 - 1.0694i |

En este caso no hubodiferencia.

2) Considere el sistema de ecuaciones:

a) Elimine la variable y represente gráficamente el sistema resultante.

x2+y2+x+y-3=0x4-2x2-3y+2x2y+x+y2-3=0

b) Determine todas las raíces usando el método de Gauss-Seidel

X=g1(y,z)=1-y-z
Y=g2(x,z)=2+z-x
Z=g3(x,y)=1+y-x

Primera semillas (xi,yi,zi)=(-1,0,-3)

numero de iteraciones=10
g1(y,z)='-sqrt(1-y-z)'g2(x,z)='sqrt(2+z-x)'
g3(x,y)='-sqrt(4+y-x)'
xinicial=-1
yinicial=0
zinicial=-3

ans =

-1.0000 0 -3.0000
-1.5369 0.8740 -2.2361
-1.5904 1.0025 -2.5320
-1.5989 1.0113 -2.5677
-1.5991 1.0138 -2.5710
-1.5993 1.0137 -2.5716
-1.5993 1.0138 -2.5716
-1.5993 1.0138 -2.5716
-1.5993 1.0138 -2.5716
-1.5993 1.0138 -2.5716-1.5993 1.0138 -2.5716
Segunda Semillas (xi,yi,zi)=(-2,-1,-3)

numero de iteraciones=10
g1(y,z)='-sqrt(1-y-z)'
g2(x,z)='-sqrt(2+z-x)'
g3(x,y)='-sqrt(4+y-x)'
xinicial=-2
yinicial=-1
zinicial=-3

ans =

-2.0000 -1.0000 -3.0000
-2.1364 -1.3281 -2.2361
-2.1417 -1.3941 -2.1928
-2.1401 -1.4010 -2.1789
-2.1396 -1.4011 -2.1769
-2.1396-1.4010 -2.1768
-2.1396 -1.4010 -2.1768
-2.1396 -1.4010 -2.1768
-2.1396 -1.4010 -2.1768
-2.1396 -1.4010 -2.1768
-2.1396 -1.4010 -2.1768

Terceras semillas (xi,yi,zi)=(-1,-2,1)

numero de iteraciones=10
g1(y,z)='-sqrt(1-y-z)'
g2(x,z)='-sqrt(2+z-x)'
g3(x,y)='sqrt(4+y-x)'
xinicial=-1
yinicial=-2
zinicial=1

ans =

-1.0000 -2.0000 1.0000...