metodos numericos





FACULTAD DE MECÁNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

MÉTODOS NUMERICOS

¨DETERMINACION DEL VOLUMEN MOLAR QUE OCUPA N-BUTANO EN LA ECUACIÓN DE ESTADO DE GASES REALES DEVAN DER WAALS ¨
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QUINTO SEMESTRE

Fecha de entrega: Jueves, 07 de junio de 2012.

DETERMINACION DEL VOLUMEN MOLAR QUE OCUPA N-BUTANO EN LA ECUACIÓN DE ESTADO DE GASES REALES DEVAN DER WAALSOBJETIVOS:
Profundizar en el conocimiento y la aplicación de los métodos de cálculo de ecuaciones no lineales habitualmente utilizados en problemas cotidianos
Desarrollar las habilidades necesarias para la programación de algoritmos numéricos y

FUNDAMENTO TEÓRICO
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no estágarantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos deinflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valoranterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. Sea función derivable definida en el intervalo real .Empezamos con un valor inicial y definimos para cada número natural .
Donde denota la derivada de .

La función es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que es una mejor aproximación quepara la raíz de la función .
Obtención delAlgoritmo
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituyepor la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje ). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (,()) ycuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la raíz , se logra la intersección de la función lineal con el eje de abscisas. Matemáticamente:

En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que es una mejor aproximación que para el cero () de la función .Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función en seriede Taylor, para un entorno del punto.
Ilustración de una iteración del método de Newton (La función es mostrada en azul y la línea tangente en rojo). Vemos que es una mejor aproximación quepara la raíz de la función .
Estimación del Error
Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si es raíz, entonces:
Para una cierta constante.
Esto significa que sien algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:
Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando...