metodos numericos

ufeffREPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIDAD CURRICULAR: METODOS NUMERICOS







TRABAJO DE INVESTIGACION


Realizado por:
Javier Campos ci 20.855.706
Kelly Rodriguez CI 21.186.436
Valentina Manzanilla
Gabriel Robles




INDICE
1. Ajuste por mínimas cuadradas
2. Interpolación de Newton y LaGrange
3. Diferenciaciónnumérica (Hacia atrás, central y hacia adelante)
4. Integración numérica (Regla Simpson ⅓, ⅜ y trapecio).
5. Ecuaciones diferenciales, ordinarias y/o parciales. (Euler, Runge Kutta, Predictor corrector).



















1. Ajuste por mínimos cuadrados.

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x
e y se relacionan a través de unaecuación lineal:
y = ax + b

Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta
éste están ligadas a través de una ley lineal:

l = (1/K)F

Con ordenada en el origen cero y donde el inverso de lapendiente (K) es una característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para lavariable dependiente y. De este modo se dispone de una serie
de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes
hacen que no se hallen perfectamente alineados como se muestra en la figura 1.


El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta quemejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:

Donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que se indican.

Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de mínimoscuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus errores correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores, entonces se tiene:


La pendiente de la rectase escribirá , y la ordenada en el origen.

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:



Su valor puede variar entre 1 y -1.

Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la rectaexistiendo una correlación que es perfecta e inversa.

Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.

Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y directa.

Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle con diferentes pesos (F, variable independiente o y ) y se han anotado los alargamientos (l variabledependiente o x).



Los distintos datos que se necesitan son:



Con lo cual aplicando las expresiones [1], [2], [3] y [4]
b = -18,4153; a =3,4959; Δb =0,08164966; Δa =0,00102217; r = 0,9995
Redondeando en la forma usual b = -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp
No se debe olvidar que se persigue el valor de la constante elástica del muelle:















2....