Metodos Numericos

UNIDAD 3

En la práctica de la ingeniería y las ciencias, frecuentemente se debe resolver ecuaciones de la forma f(x)=0 o, más generalmente g(x)=h(x) ya sea como un fin en sí mismo, o bien como un paso intermedio al resolver un problema más complejo. Una ecuación se llama algebraica si involucra solo las cuatro operaciones aritméticas y radicales. Las ecuaciones no algebraicas se llamantrascendentes.

Para resolver una ecuación algebraica o trascendente , la solución no se encuentra en forma analítica. Tales soluciones deben obtenerse de manera numérica.

En esta unidad se presentan métodos iterativos para encontrar raíces reales de f(x)= 0 tanto de ecuaciones algebraicas como trascendentes, raíces múltiples y se aborda el problema de hallar raíces reales o complejas de unaecuación polinómica de n-ésimo grado.

Un método iterativo o de iteraciones sucesivas es aquel que a partir de un valor conocido aproximado a la raíz, se acerca aproximadamente a la solución o raíz buscada mediante la aplicación repetida de una ecuación de recurrencia.

En un método iterativo, la aproximación mejorada Xn+1 depende solo de X n y la dependencia de X n es continua, es decir, supongaque X n+1=g(X n) donde g(x) es una función continua de X.

El método numérico iterativo que resulta de esta regla es:

-X 0 es una estimación inicial.
-X 1 =g(X0), x2=g(X1),…,Xn = g (Xn-1),Xn+1 = g (Xn)

Puesto que cada nueva iteración se obtiene relacionando la iteración actual a la función g, nos referimos a la anterior como sustitución repetida.

Si llamamos X* a un punto fijo de g sig(X*)=X* esto es, si g asocia X* consigo misma.

En vista de lo anterior, la sustitución repetida es un método numérico iterativo para encontrar puntos fijos, es decir, para resolver g(x)=h(x) (la ecuación de punto fijo).

Analíticamente los puntos fijos de g son las soluciones X* de la ecuación de punto fijo g(x)=h(x). Geométricamente los puntos fijos son las coordenadas x o y de los puntos p*(x*, y*) donde la curva y =g(x) interseca a la línea y = x. Así cuando se dispone de la gráfica de g puede usarse para obtener estimaciones iniciales para todos los puntos fijos de g.

La figura (U3.1) muestra por que la convergencia o divergencia lineal de la sustitución repetida es monótona (solo desde un lado de x*) si g * (x *) es positiva y alterna (desde lados alternos de x*) si g* (x*)es negativa.

La ecuación más general de una sola variable, digamos x puede expresarse como g(x) = h(x).

Una solución es un número x* para el cual g(x*) =h(x*). Geométricamente las soluciones x* son las abscisas de los puntos p* donde las gráficas de g y h se intersecan.

Los métodos numéricos de esta unidad hallarán soluciones de la ecuación especial f(x) = 0 (la ecuación para hallarraíces).

Las soluciones x* se llaman raíces de la ecuación f(x) = 0 o simplemente raíces de f(x). Geométricamente, las raíces de f(x) son las intersecciones de x con la gráfica de f. El enfoque sistemático para resolver una ecuación de una sola variable digamos x es transponer todos los términos hacia un lado para transformarla en f(x) = 0 y luego usar el método para encontrar raíces.

Así, laecuación de punto fijo g(x) = h(x) que puede escribirse como g(x) = x será resuelta encontrando raíces de g(x) – x = 0, la ecuación de la función inversa g(x) = c se resolverá encontrando raíces de g(x) – c = 0. (ver figura U3.2).

En general las características típicas de los métodos de iteraciones sucesivas son las siguientes:


1) Requieren de un valor inicial X0 que sea aproximado a la raíz(ξ), en algunas ocasiones requieren de 2 valores.

2) El valor inicial X0 de la raíz (ξ) se mejora tantas veces como se desee utilizar una ecuación de recurrencia.

3) Las raíces que se encuentran no son exactas, solo son aproximaciones.

4) Las ecuaciones de recurrencia solo evalúan una raíz a la vez.



5) En forma general se clasifican en:

a)Método Gráfico
b)Métodos Cerrados...