metodos numericos

Ejemplo
Usar los términos de la serie de Taylor con n=0 hasta n=6 para
aproximar f(x)=cosx en xi 1  
con base en el valor de f(x) y sus
3
derivadas en x  
i

4

Solución.
Calculamos hh     
3
4
12
Con el conocimiento de que de la función original se puede conocer el
valor exacto de
f   cos   0.5
3
3

 

Entonces el valor exacto es 0.5 y es al que sepretende llegar

Ejemplo
0. Aproximación de orden cero

 3   cos  4  0.7071067812

f 

El error de truncamiento es
Et 

0.5  0.7071067812
.100%  41.4%
0.5

1. Aproximación deprimer orden. Se calcula la primera derivada

f ' x   senx

Se agrega el segundo término a la serie y se tiene:

 3   cos  4  sen 4  12  0.521986659

f 

El error detruncamiento es
0.5  0.521986659
Et 
.100%  4.40%
0.5

Ejemplo
2. Aproximación de segundo orden. Se calcula la segunda derivada
f ' x    cos x

Se agrega el tercer término a la serie y setiene:
cos 
4  2  0.4977544914
  cos   sen   
f
3
4
4 12
12
2!

 

 

 

El error de truncamiento es
f ' x   senx

Et 

0.5  0.4977544914
.100%  0.4491%
0.5Ejemplo
f ' x    cos x

 

 

f   cos   sen   
3
4
4 12

Et 

cos 
2!

 12  0.4977544914

4 

2

0.5  0.4977544914
.100%  0.4491%
0.5

3.Aproximación de tercer orden. Se calcula la tercera derivada
f ' x   senx

Se agrega el siguiente término a la serie y se tiene:
cos 
sen 
2
4 
4  3  0.4998691469
  cos   sen   
f
3
4
4 12
12
12
2!
3!

 

 

 

 

El error de truncamiento es
Et 

0.5  0.4998691469
.100%  2.62 102%
0.5

Ejemplo
4. Aproximación de cuarto orden. Se calcula lasiguiente derivada
f ' x   cos x

Se agrega el siguiente término a la serie y se tiene:

 3   cos  4  sen  4  12

f 

cos 
2!

 12 

4 

2

sen 
3!

 12 ...